226 G-. Fano. III3. Géométrie synthétique et géométrie analytique. S. Carrus. 
Mais les recherches concernant les propriétés générales des courbes 
algébriques gauches ont présenté de grandes difficultés. Ce n’est que 
fort tard que l’on a reconnu qu’une courbe gauche n’est pas toujours 
l’intersection complète de deux surfaces 179 ), et que par suite deux (ou 
même trois) équations ne suffisent pas toujours à la représenter ana 
lytiquement 180 ), tandis que quatre équations suffisent toujours; que 
même la considération simultanée de l’ordre et des points doubles éven 
tuels ne suffit pas non plus pour établir une classification des courbes 
gauches, car il y a déjà deux espèces de courbes gauches du quatrième 
ordre sans points doubles 181 ); enfin que, à partir du neuvième ordre, 
même l’adjonction du nombre des points doubles apparents ne permet 
pas d’établir une classification complète de ces courbes 182 ). La théorie 
générale et la classification des courbes algébriques ne pouvaient donc 
offrir une analogie complète avec les théories précédentes. 
Des résultats essentiels concernant les courbes algébriques gauches 
sont cependant dûs à A. Cayley. En 1845, il établit les relations, 
analogues à celles de Plücker, existant entre les nombres des singula 
rités d’une courbe gauche 183 ). Pour représenter ces courbes analytique 
ment, il les considéra d’une part comme intersection d’une „monoïde“ 
(c’est-à-dire d’une surface du w lème ordre ayant un point multiple 
d’ordre n — 1) et d’un cône, qui n’ont en outre en commun qu’un 
certain nombre de droites 184 ); et d’autre part il eut recours à l’équation 
179) A. Cayley, Note sur les hyperdéterminants [J. reine angew. Math. 34 
(1847), p. 148; en partie, p. 152; Papers 1, p. 352]. 
180) L. Kronecker, Festschrift zu E. E. Kummers 50. Doktorjubiliium, Sep- 
tember 1881, éd. Berlin 1882 [Grundzûge einer arithmetischen Théorie der al- 
gebraischen Grôssen]; J. reine angew. Math. 92 (1882), p. 27; J. Molk, Thèse, 
Paris 1884, p. 107; Acta math. 6 (1885), p. 107; K. Th. Vahlen, J. reine angew. 
Math. 108 (1891), p. 346. 
181) G. Salmon, Cambr. Dublin math. J. 5 (1850), p. 53 ; J. Steiner, J. reine angew. 
Math. 53 (1857), p. 133/41 en partie, p.138 ; Werke 2, Berlin 1882, p. 651/9 en partie, p. 656. 
182) La courbe la plus générale d’ordre 9 et de genre 10 (avec 18 points 
doubles apparents, et dépendant de 36 constantes) peut être de deux espèces 
différentes: soit une courbe (3,3) intersection de deux surfaces du 3 ième ordre, ou 
une courbe (2,6) intersection d’une quadrique et d’une surface du 6 ième ordre 
avec trois cordes six-sécantes (dont chacune s’appuie sur six points de la courbe) 
comme intersection restante. Voir à ce sujet les études de G. H. Halphen [J. Éc. 
polyt. (1) cah. 52 (1882), p. 166] et de M. Nôther [Zur Grundlegung der Théorie 
der algebraischen Raumkurven, Abh. Akad. Berlin 1882, Phys.-math. Klasse, math. 
Abh.; Extraits: J. reine angew. Math. 93 (1882), p. 101]. 
183) J. math, pures appl. (1) 10 (1845), p. 245; Cambr. Dublin math. J. 5 
(1850), p. 18. 
184) C. R. Acad. sc. Paris 54 (1862), p. 55, 396, 672; id. 58 (1864), p. 994; 
Papers 5, Cambridge 1892, p. 7, 24.