2B. Génération géométrique des courbes et des surfaces par Grassmann, 229 
d’une courbe de la w ième classe comme enveloppe d’une droite mobile 
dans le plan. 
Dans un autre mémoire, H. Grassmann 194, ) établit le théorème 
inverse, d’après lequel toute figure formée de points (ou de droites) 
du n ième ordre (ou de la n ième classe) peut être engendrée de la ma 
nière indiquée. La démonstration de ce théorème revient à déduire de 
l’équation F{x, y) — 0 de la courbe donnée une règle permettant de cons 
truire le mécanisme générateur. Les différentes générations sont discu 
tées séparément pour les courbes du troisième et du quatrième degré 194 195 ). 
Pour les surfaces, il établit un théorème analogue 196 ) où la con 
dition qu’un point et une droite soient incidents est remplacée par la 
condition que deux droites obtenues par des constructions linéaires 
soient dans un même plan. 
Mais ceci n’est encore qu’une „génération“ géométrique des cour 
bes générales d’un degré donné; leur „définition“, ainsi que celle du 
degré, a toujours une base analytique. Même quand H. Grassmann engen 
dre les courbes d’ordre m -f- n par des faisceaux projectifs de courbes 
d’ordres m et n, et qu’il reconnaît que cette génération est toujours 
possible 197 ), ce ne sont là que des recherches isolées, et il n’est pas 
encore question chez lui d’une théorie des courbes proprement dite. 
J. Lüroth 198 ) a montré dans sa théorie des jets que les courbes 
et surfaces de degré n de H. Grassmann sont rencontrées par toute 
droite en n points et que deux courbes de degrés m et n se coupent 
en mn points. On pourrait par conséquent établir une théorie géomé 
trique des courbes planes algébriques en prenant comme définition 
leur génération d’après H. Grassmann, et en démontrant les théorèmes 
sur les intersections d’après K. G. Chr. von Staudt et J. Lüroth. Toute 
fois cette théorie n’a pas été développée. Il n’y serait, il est vrai, pas 
du tout question de relations métriques; mais il reste à savoir si une 
théorie qui a besoin du calcul des jets jusqu’aux problèmes d’élimination 
194) J. reine angew. Math. 42 (1851), p. 187; Werke 2 1 , publ. par E. Study, 
G. Scheffers et F. Engel, Leipzig 1904, p. 80. 
195) J. reine angew. Math. 36 (1848), p. 177; 44 (1852), p. 1; 52 (1856), 
p. 254; Werke 2 1 , p. 73, 109, 218. 
196) J. reine angew. Math. 49 (1855), p. 1 et diverses remarques jusqu’à la 
p. 65; Werke 2 1 , p. 136/98. 
197) Die höhere Projektivität und Perspektivität in der Ebene dargestellt 
durch geometrische Analyse [J. reine angew. Math. 42 (1851), p. 193]; Die höhere 
Projektivität in der Ebene dargestellt durch Funktionsverknüpfungen [id. p. 294]; 
Werke 2 1 , p. 86, 89. 
198) Math. Ann. 8 (1875), p. 145.