B. de Paolis reprit ces recherches d’une façon plus approfondie et 
plus systématique, mais malheureusement il mourut avant de pouvoir 
en venir à bout [cf. n° 27]. 
26. Théorie purement synthétique des courbes planes par 
Kötter. Les nombreux essais faits en vue de fonder une théorie pure 
ment synthétique des courbes et surfaces algébriques ne furent cou 
ronnés de succès que lorsqu’on 1884 et 1886 l’académie de Berlin 
décida d’attribuer le prix Steiner au meilleur travail sur ce sujet. 
L’ouvrage de E. Kötter 212 ) couronné en 1886 [cf. III 19] renferme en 
effet une théorie synthétique des courbes planes, qui peut être con 
sidérée dans son ensemble comme satisfaisante. 
E. Kötter part de la remarque suivante. En géométrie analytique 
la grande simplicité des théorèmes et des démonstrations sur les 
courbes algébriques repose sur ces deux faits: en premier lieu, les gran 
deurs imaginaires sont déjà introduites dans les fondements de la 
géométrie; en second lieu, avant d’aborder la géométrie analytique, 
on a à sa disposition la théorie des fonctions rationnelles entières 
d’une et de plusieurs variables. En particulier, on suppose connu le 
théorème fondamental de l’algèbre [I 9, 80] d’après lequel une fonction 
rationnelle entière d’une variable de degré n possède n zéros en général 
différents, et le théorème de Bézout [I 9, 51, note 389] d’après lequel 
deux fonctions rationnelles entières de deux variables de degrés m et n 
s’annulent en même temps pour mn couples de valeurs des variables. 
En ce qui concerne le premier point, la théorie des éléments 
imaginaires de K. G. Chr. von Staudt donne la traduction géométrique 
de la théorie analytique et, dès le second chapitre de son ouvrage, 
E. Kötter ne fait pas de distinction entre éléments réels et imaginaires. 
La théorie des fonctions rationnelles entières est remplacée dans 
le mémoire de E. Kötter par la théorie des invalidions. De même qu’un 
groupe de points peut être représenté analytiquement par une équation 
de degré n, de même il peut être déterminé géométriquement comme 
(1883), p. 25/80, 85/112j; G. Castelnuovo [Studio sulle omografie di 2 a specie, Atti 
Ist. Yeneto (6) 5 (1886/7), p. 1041]; F. London [Zur Theorie der trilinearen Ver 
wandtschaft dreier einstufigen Grandgebilde, Math. Ann. 44 (1894), p. 345]. 
G. Hauclc [J. reine angew. Math. 95 (1883), p. 1, surtout § 3; 97 (1884), 
p. 261; 98 (1885), p. 304; 108 (1891), p. 25; 111 (1893), p. 207] s’est occupé long 
temps de la théorie des correspondances trilinéaires planes à laquelle il arriva 
tout d'abord en étudiant du point de vue de la géométrie descriptive les 
relations qui existent entre trois projections planes d’une même figure (plane ou 
gauche). 
212) Grundzüge einer rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen 
Kurven [Abh. Akad. Berlin 1887, Phys. math. Klasse, Math. Abh. mém. n° 4].