244 G. Fano. III 3. Géométrie synthétique et géométrie analytique. S. Garnis. 
aussi R. Bedeldnd et H. Weber * 260 ), dans laquelle on applique aux diffé 
rentes „classes“ de fonctions algébriques les méthodes arithmétiques 
de la théorie des corps de nombres algébriques [I 18]. 
4) La méthode géométrique pure, qui fait intervenir l’espace à n 
dimensions, en „représentant“ les involutions d’ordre n et de dimen 
sion Te par des courbes d’ordre n de l’espace à h dimensions, sur les 
quelles les groupes de l’involution sont découpés par les espaces à 
h— 1 dimensions. Ce sont les géomètres italiens, surtout C. Segre et 
G. Castelnuovo qui ont fourni à cette théorie les contributions les plus 
importantes; à C. Segre nous devons aussi un exposé d’ensemble de la 
même théorie 261 ). 
En ce qui concerne les figures à deux dimensions, c’est-à-dire les 
surfaces algébriques, on a aussi eu recours d’une part à une méthode 
analytique ou transcendante (correspondant à celle de R. Riemann), et 
d’autre part à une méthode algébrico-géométrique. Les recherches les 
plus anciennes du domaine transcendant sont dues à M. Nother 262 263 264 * ); il 
introduisit les intégrales doubles de différentielles algébriques, qui 
restent partout finies sur la surface, et qui sont les analogues des 
intégrales abéliennes de première espèce sur les courbes algébriques. 
Plus tard É. Picard 266 ) considéra sur les surfaces dont la „con 
nexion linéaire“ est > 1 les intégrales simples de différentielles totales, 
et G. Humbert 26 *) étudia des surfaces particulières, entre autres les 
„surfaces hyperelliptiques“. 
Les géomètres italiens, en particulier G. Castelnuovo et F. Enri 
ques, ont, au contraire, étudié les systèmes linéaires de courbes sur 
les surfaces, dont la théorie se trouvait déjà en partie esquissée par 
celle des systèmes de courbes planes, c’est-à-dire de courbes sur des 
(1881), p. 301; Grundzüge 180 ); J. reine angew. Math. 92 (1882), p. 1. Voir aussi 
K. Hensel et G. Landsberg, Theorie der algebraischen Funktionen einer Yariabeln, 
Leipzig 1903. 
260) Theorie der algebraischen Funktionen einer Yeränderlichen [J. reine 
angew. Math. 92 (1882), p. 181]. 
261) Introduzione alla geometria sopra un ente algebrico semplicemente 
infinito [Ann. mat. pura appl. (2) 22 (1894), p. 41]. 
262) Math. Ann. 2 (1870), p. 293; 8 (1875), p. 495/533. 
263) J. math. pures appl. (4) 1 (1885), p. 281; (4) 2 (1886), p. 329; (4) 5 
(1889), p. 135 (dans ce dernier article, p. 175 introduction de la notion de la con 
nexion linéaire); voir aussi C. R. Acad. sc. Paris 99 (1884), p. 961, 1147; 100 
(1885), p. 843; 101 (1885), p. 734; 102 (1886), p. 250. 
264) J. math, pures appl. (4) 9 (1893), p. 29, 351; (4) 10 (1894), p. 190; C. R. 
Acad. sc. Paris 117 (1893), p. 361; 120 (1895), p. 365, 425.