8. Droite et plan définis à l’aide de congruences et de mouvements. 17 
G. F. Gauss 57 ) a observé, en passant, que dans la pratique on a 
recours à cette propriété de la ligne droite quand on opère avec le 
théodolite pour contrôler si une ligne est droite ou non. 
Plusieurs géomètres, parmi lesquels il convient de citer tout parti 
culièrement H. Grassmann 58 59 ), ont regardé la droite comme la ligne 
qui conserve en chacun de ses points une direction constante. Pour 
que cette définition soit acceptable il faut prendre comme notion pri 
mitive celle de direction, et cela peut se faire, par exemple par rapport 
à deux points, sans tenir compte de la notion de droite. 
Cette idée a été développée par E. T. Dixon b9 ). Elle se rattache 
d’ailleurs à une autre idée de H. Grassmann 60 ) d’après laquelle la 
géométrie peut être envisagée comme un calcul géométrique effectué sur 
des vecteurs ou, suivant le langage adopté aujourd’hui, comme une 
analyse vectorielle. 
G. Peano 61 ) a analysé avec le plus grand soin les notions et 
propositions fondamentales de ce calcul géométrique. G. Darboux 62 ), 
F. Siacci 63 ), R. Schimmach 6i 65 ), F. Schur 65 j, G. Hamel 66 67 ) ont aussi publié 
des recherches plus ou moins étendues sur ce même sujet. 
Une définition bien plus remarquable de la droite et du plan 
est celle qu’a imaginée G. W. Leibniz 6 ^) et qui a été ensuite reprise 
57) Note posthume s. d. (semble être écrite entre 1840 et 1850); Werke 8, 
Göttingue (Leipzig) 1900, p. 196/7. 
58) Die lineale Ausdehnungslehre, Leipzig 1844; (2 e éd.) Leipzig 1878, p.XXIX 
(introd. section C); Werke l 1 , publ. par F. Engel Leipzig 1894, p. 28: „Die ein 
fachste Ausdehnungsform ist die Form, welche durch eine aus demselben Gesetze 
erfolgende Änderung des erzeugenden Elementes entsteht“" [La forme simple d’ex 
tension est la forme qui résulte d’un changement de l’élément générateur, d’après 
une même loi], et p. 29: „In der Raumlehre ist die Gleichheit der Richtung 
das die einzelnen Änderungen umfassende Gesetz“ [Dans la théorie de l’espace, 
la constance de la direction est la loi qui comprend les divers changements]. 
59) The foundations of geometry, Cambridge 1891, p. 32 et suiv. 
60) Pour avoir une idée générale de la question, lire par exemple l’article 
de H. Grassmann intitulé „Kurze Übersicht über das Wesen der Ausdehnungs 
lehre“ [Archiv Math. Phys. (1) 6 (1845), p. 337/50; Werke l 1 , publ. par F. Engel, 
Leipzig 1894, p. 297 et suiv. (voir surtout les sections III et IV)]. 
61) Calcolo geometrico seconde l’Ausdehnungslehre di H. Grassmann, Turin 1888. 
62) Bull. sc. math. (1) 9 (1875), p. 281; réimpr. dans Ch. Despeyrous, Cours de 
mécanique 1, Paris 1884, p. 371/7 (note I). 
63) Rend. Accad. Napoli (3) 5 (1899), p. 34. 
64) Nachr. Ges. Gott. 1903, p. 34. 
65) Z. Math. Phys. 49 (1903), p. 352. 
66) Z. Math. Phys. 49 (1903), p. 362. 
67) Characteristica geometria, ms. bibl. Hanovre daté du 10 avût 1679; 
Werke, éd. C. I. Gerhardt, Math. Sehr. 5, Halle 1858, p. 166, 187. 
Encyclop. des soieno. mathémat. III 1. 2