252 £r. Fano. III 3. Géométrie synthétique et géométrie analytique. S. Carrus. 
1°) La continuation des recherches sur la courbure d’une sur 
face dans le voisinage d’un point quelconque et sur plusieurs ques 
tions qui s’y rattachent, en particulier la détermination des surfaces 
dont les deux rayons de courbure satisfont à une condition donnée 
(surfaces minima, surfaces dont l’un des rayons de courbure est 
constant, etc.). 
2°) La théorie des enveloppes avec leurs caractéristiques et arêtes 
de rebroussement; parmi elles, développables, surfaces-canal, surfaces 
d’égale pente. 
3°) L’application de la théorie des surfaces et surtout de la 
théorie des enveloppes à l’interprétation géométrique des équations 
aux dérivées partielles du premier ordre à trois variables. G. Monge 
montre qu’il est parfois plus commode et plus utile, pour la détermi 
nation d’une famille de surfaces, d’avoir une équation différentielle 
que d’avoir une équation en termes finis; il montre aussi comment 
on peut non seulement passer de la seconde à la première, mais 
aussi inversement de la première à la seconde. Ce dernier passage 
équivaut à l’intégration de l’équation aux dérivées partielles donnée. 
Parmi les continuateurs de G. Monge dans les recherches de géo 
métrie infinitésimale, on doit citer en premier lieu Ch. Dupin 28 ' 0 ) qui 
introduisit la notion de tangentes conjuguées en un point d’une surface, 
la notion de lignes à tangentes asymptotigues et la notion de l’indicatrice 
qui porte son nom, c’est-à-dire des notions „projectives“ qui ont acquis 
un rôle prépondérant dans les recherches ultérieures. On lui doit 
aussi le théorème suivant: „les surfaces d’un système triple orthogonal 
se coupent suivant leurs lignes de courbure“. 
37, „Disquisitiones generales“ de Gauss. G. F. Gauss introduit 
deux notions fondamentales auxquelles son nom est resté attaché: 
1) Les coordonnées curvilignes sur une surface. 
2) La courbure totale d’une surface en un point quelconque, qu’il 
définit comme l’inverse du produit des deux rayons de courbure prin 
cipaux de la surface en ce point. 
Dans l’expression de l’élément linéaire de la surface par les coor 
données curvilignes se présentent les coefficients F, F, G, dont il 
a fait ressortir l’importance fondamentale pour la théorie des surfa 
ces applicables l’une sur l’autre [III 33] ; on peut exprimer la courbure 
de Gauss au moyen de ces coefficients et de leurs dérivées par rapport 
aux coordonnées. * 
285) Développements de géométrie, Paris 1813.