38. Progrès de la théorie infinitésimale des courbes et surfaces. 253 
G. F. Gauss étudie en même temps les surfaces en se plaçant à 
un point de vue tout nouveau; il les considère comme des corps infini 
ment minces, des tissus flexibles et inextensibles; dans leurs déforma 
tions la courbure totale en un point quelconque reste invariante, et par 
suite l’égalité des courbures totales aux points correspondants est une 
condition nécessaire pour que deux surfaces soient applicables l’une sur 
l’autre. Mais cette condition n’est suffisante que pour les surfaces à 
courbure totale constante; dans les autres cas, il faut encore d’autres 
conditions, comme l’a fait remarquer F. F. A. Minding 286 ) [III 33J. 
L’équation différentielle des lignes géodésiques sur une surface a 
été également établie par G. F. Gauss et utilisée par lui pour d’autres 
problèmes (coordonnées polaires, cercles géodésiques, courbes parallèles) 
[III 30]. 
38. Progrès de la théorie infinitésimale des courbes et surfaces. 
Les recherches de G. Monge et de G. F. Gauss exercèrent pendant 
plusieurs dizaines d’années une grande influence sur le développement 
de la géométrie infinitésimale, et elles sont aujourd’hui encore fonda 
mentales pour la théorie infinitésimale des courbes et des surfaces 
[III 29 et III 30]. 
La théorie, due à G. F. Gauss, des coordonnées curvilignes sur une 
surface a donné aux mathématiciens l’idée de construire une théorie 
analogue pour l’espace (considéré comme une variété à trois dimen 
sions). C’est ce que fit d’abord G. Lamé 287 ) par l’introduction des 
coordonnées elliptiques; plus tard il s’éleva à une théorie générale 
des coordonnées curvilignes de l’espace 288 ) et à la notion des para 
mètres différentiels qui lui avait été suggérée par ses études de phy 
sique mathématique. Il faut de même regarder l ; „Habilitationsschrift“ 
de B. Riemann, „Über die Hypothesen, die der Geometrie zu Grande 
liegen“ [cf. n° 28], comme un premier pas vers l’extension de la théorie 
de G. F. Gauss au cas de n dimensions. 
Il existe plusieurs traités et exposés généraux de la géométrie 
infinitésimale des courbes et surfaces [cf. III29 et III30], sans compter 
les traités de calcul différentiel et de calcul intégral [voir la biblio 
graphie à la fin du volume 1 du tome II], qui font plus ou moins de place 
aux applications géométriques. Tous ces exposés sont presqu’exclusive 
286) J. reine angew. Math. 19 (1839), p. 370. 
287) Mém. présentés Acad. sc. Paris (2) 5 (1838), p. 174/219; J. math, pures 
appl. (1) 2 (1837), p. 147. 
288) Leçons sur la théorie des coordonnées curvilignes et leurs diverses ap 
plications, Paris 1859.