89. Aperçu général sur les recherches de Lie. 
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Ces théories peuvent être rangées dans la géométrie infinitésimale, 
puisqu’on n’y a affaire, en général, qu’à des fonctions à domaine de 
valabilité limitée. 
La théorie des groupes continus finis date des années 1873 et 1874; 
elle fut plus tard exposée dans les trois volumes de la „Théorie der 
Transformationsgruppen“ 291 ), dont le premier et le troisième con 
tiennent la théorie générale de ces groupes. Les notions fonda 
mentales de cette théorie sont celles de transformation infinitésimale, 
de la composition du groupe, et de sa définition par des équations 
différentielles. 
La notion de transformation de contact s’est présentée à S. Lie 292 ) 
tout d’abord géométriquement en poursuivant les idées de J. Plücker 
sur les transformations dans l’espace avec changement de l’élément 
fondamental. Dans l’espace à trois dimensions ce sont les trans 
formations des cinq variables 
dz dz 
q ^~dy 
qui transforment en elle-même l’équation 
dz —pdx — qdg = 0 
c’est-à-dire qui vérifient identiquement l’équation 
dz' — p'dx — q dy = p (dz — pdx — qdy). 
Dans ces transformations aux surfaces correspondent en général des 
surfaces (exceptionnellement des lignes ou des points), et à des surfaces 
tangentes d’autres surfaces tangentes. 
Le second volume de la „Théorie der Transformationsgruppen" con 
tient la théorie générale des transformations de contact à n variables, 
de leurs invariants et des groupes continus finis de transformations 
de contact. Pour n = 2 et n — 3 les transformations de contact sont 
traitées géométriquement dans la „Geometric der Berührungstransfor- 
raationen" 10 ), 
La théorie géométrique des équations différentielles part de la con- 
291) S. Lie et F. Engel, Theorie der Transformationsgruppen 1, Leipzig 
1888; 2, Leipzig 1890; 8, Leipzig 1893. Yoir aussi S. Lie, Vorlesungen über 
kontinuierliche Gruppen mit geometrischen und anderen Anwendungen, publ. par 
G. Scheffers, Leipzig 1893. 
292) Over en classe geometriske Transformationer [Porhandlinger Yidenskabs 
Selskabet Christiania 1871, 4d. 1872, p. 67]; Über Komplexe, insbesondere Linien- 
und Kugelkomplexe [Math. Ann. 5 (1872), p. 145/256, en partic. p. 147/63].