256 Cr. Fano. III 3. Géométrie synthétique et géométrie analytique. S. Carrus.
ception de G. Monge*). L’équation différentielle
f(p, y> y) = 0
fait correspondre à chaque point (x, y) du plan une ou plusieurs di
rections déterminées y = „intégrer“ l’équation équivaut à „déter
miner les courbes qui en tout point ont pour tangente une des direc
tions y' correspondantes“, c’est-à-dire à „grouper en courbes les oo 2 élé
ments (x, y, y) qui vérifient l’équation f= 0“: ces courbes, à l’excep
tion des intégrales singulières, sont représentées par l’équation intégrée
F(x, y, h) — 0.
Cette manière de voir est en corrélation avec la théorie des con
nexes de A. Clebsch, car tout connexe d’un plan
(p O, y, u, v) = 0
entraîne une équation différentielle qui représente son intersection (sa
„coïncidence“) avec le connexe principal
ux -f- vy -(-1=0,
c’est-à-dire une équation dont les courbes intégrales sont définies par
ce fait que, en chacun de leurs points, point et tangente vérifient
l’équation du connexe cp = O 293 ).
Si un groupe de transformations transforme en elle-même l’équa
tion différentielle donnée, le faisceau oo 1 des courbes intégrales est
également invariant, et cette propriété peut être utilisée pour l’inté
gration de l’équation différentielle 294 ). Ces considérations s’appliquent
aussi, mutatis mutandis, aux équations différentielles ordinaires
fix, y, z, y', z) = 0
et aux équations aux dérivées partielles du premier ordre
fi x ) V, 0 ,P, q) = °>
où
dz dz
P ~ dx’ dy
qui font correspondre à chaque point (x, y, z) le cône enveloppé par
les plans
p(X-x) + q(T- 9 )-(Z-,)-0,
293) A. Clebsch, Vorlesungen über Geometrie, publ. par F. Lindemann 1,
Leipzig 1876, p.963, 1014 (section 7); F. Klein, Vorlesungen über höhere Geometrie
(autographié) 1, Göttingue 1892/3, p. 244 et suiv. ; réédité Göttingue 1907.
294) Cette conception remonte aux années 1871 à 1874 et fut plus tard
développée dans S. Lie, Vorlesungen über Differentialgleichungen mit bekannten
infinitesimalen Transformationen, publié par G. Scheffers, Leipzig 1891.
