258 G-, Fano. III 3. Géométrie synthétique et géométrie analytique. 8. Garnis. 
ces de courbes, en s’appuyant sur leur définition analytique. Cette 
distinction a été reprise par C. Jordan 298 ) avec plus de détails. 
G. Jordan pose comme conditions que la courbe définie par les 
équations 
n’ait pas de points doubles dans l’intervalle a < t < &, c’est-à-dire que 
pour aucun couple de valeurs ^ t 2 (comprises chacune entre a et h) 
on n’ait en même temps 
ViA) = ^ (¿2) ; 
et en outre que la courbe soit fermée, c’est-à-dire que 
cp(a) = (p(b), ^(o) = ^(6). 
Il montre alors que la courbe ainsi définie possède une des pro 
priétés les plus importantes des courbes empiriques fermées: à savoir 
qu’elle partage le plan en deux régions, une région „intérieure“ et une 
région „extérieure“, conformément à la conception ordinaire [III 1, 
20; III 2, 8]. 
Cette proposition rattache la définition analytique des courbes 
aux notions géométriques qui proviennent de la théorie des ensembles. 
Mais la réciproque du théorème de Jordan n’est pas vraie. Une figure 
de points qui partage le plan en une région extérieure et une région 
intérieure n’est pas toujours une courbe continue 
x — y = f(f)- 
La notion géométrique de „limite de région“ ne se réduit à celle de 
courbe (définie analytiquement) que si d’autres conditions sont encore 
remplies, comme l’a fait remarquer A. Schoenflies 2 ") [cf. III 2, 9]. 
De plus la courbe de Jordan ne jouit pas, en général, des autres 
propriétés des courbes empiriques. La notion de „longueur d’arc“ 
sur cette courbe ne peut être introduite que lorsque cp(t) et ip(t) sont 
des fonctions bornées 300 ), c’est-à-dire lorsque dans l’intervalle considéré 
les sommes de leurs accroissements positifs et négatifs, prises séparé 
ment, sont finies. Et, pour que la courbe ait une tangente, ou une 
courbure déterminée, il faut encore d’autres conditions; ainsi pour 
qu’elle ait une tangente il est suffisant, mais non nécessaire, que cp 
et ip soient dérivables une fois dans l’intervalle considéré; et pour 
298) Cours d’analyse, (3 e éd.) 1, Paris 1909, p. 90 et suiv. 
299) Nachr. Ges. Gott. 1902, p. 185; Math. Ann. 58 (1904), p. 195 (voir en 
partie. § 7 et suiv.); 59 (1904), p. 129; 62 (1906), p. 286; Jahresb. deutsch. Math- 
Yer. 16 (1906), p. 557; Nachr. Ges. Gôtt. 1907, p. 28. 
300) C. Jordan, Cours d’analyse, (3 e éd.) 1, Paris 1909, p. 99 et suiv.