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III 1. F. Enriques. Questions d’ordre élémentaire. 
et développée par J. Bolyai 68 ) et par N. I. LobacevsTcij 69 ). Elle con 
siste à regarder le plan comme le lieu des points équidistants de deux 
points donnés 70 ) et la droite comme le lieu des points équidistants 
de trois points non alignés, ou aussi comme le lieu des centres des 
sphères ayant un même point de contact 71 72 ). La notion de Véqui 
distance de paires de points figure ici comme primitive. 
Quand la définition du plan et celle de la droite ne sont pas 
données simultanément, ou que la définition du plan ne précède pas 
celle de la droite, on peut ramener sans difficulté la notion du plan 
à celle de la droite. 
jEuclide™) définit le plan; 
èninsdog èmcpàvzid sôtlv, r'itog i'Gov ralg écp êavtfjg 
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ce que Ton traduit généralement 73 ): 
„un plan est une surface qui est également située par rapport 
à ses droites“. 
Cette définition contient certainement quelque chose de superflu, 
car le plan est déjà défini comme étant la surface contenant entièrement 
la droite qui joint deux quelconques de ses points, et cette définition, 
que l’on fait souvent remonter à Héron 74 75 ), est plus simple que la 
précédente. 
G. F. Gauss lh ) a d’ailleurs mis en évidence que, dans la définition 
68) Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae elemen- 
taris ac sublimioris methodo intuitiva evidentiaque huic propria introducendi 2 r 
Maros-Vasârhelyini 1832; (2° éd.) 2, Budapest 1904, p. 8. 
69) O nacalach geometrii, Kazan 1829/30; Novyïa nacala geometrii s polnoj 
teoriej parallelïnych, Kazan 1835/8; trad. allemande par F. Engel, Zwei geo- 
metrische Abhandlungen, Leipzig 1899, p. 7, 95. 
70) Ces données mêmes conduisent tout naturellement à écrire l’équation du 
plan sous la forme normale [cf. III 22] (sous laquelle elle a été envisagée par 
L. O. Hesse). 
71) Voir aussi, à ce sujet, G. Peano, Atti Accad. Torino 38 (1902/3), p. 6. 
72) Elementa, livre 1, déf. 7 ; Opera, éd. J. L. Heiberg 1, Leipzig 1883, p. 2. 
73) *Le véritable sens de la définition était déjà perdu du temps de Proclus- 
(5 ième siècle de notre ère); cf. note 43 (Note de G. Enestrdm).* 
74) „La définition se trouve chez Théon de Smyrne (qui vivait au second 
siècle de notre ère) [cf. Expositio rerum mathematicarum, pubi, par E. Hiller, 
Leipzig 1878, p. 112] et dans les soi-disant „Définitions“ attribuées sans qu’on sache 
pourquoi à Héron 66 ) [voir G. Friedlein, Bull. bibi, storia mat. 4 (1871), p. 97; 
Heronis Alexandrini geometricorum et stereometricorum reliquiae, éd. F. Hultsch, 
Berlin 1864, p. 10/1; voir aussi: Anaritii in decem libros priores elementorum 
Euclidis commentarii, éd. M. Curtze, Leipzig 1899, p. 10] (Note de G. Enestrom).* 
75) Lettre à F. W. Bessel datée du 27 janvier 1829; Werke 8, Gottingue 
(Leipzig) 1900, p. 200.