262 H. G. Zeuthen. III 4. Géométrie énumérative. M. Pieri. 
ordre clans l’espace ordinaire [ainsi que celle plus générale de variété 
à r — 1 dimensions dans l’espace à r dimensions]: c’est l’ensemble 
défini par une équation générale de degré m entre les coordonnées 
d’un point variable. Le nombre des points communs à trois (ou à r) 
de ces ensembles pourra se déterminer par une généralisation conve 
nable du théorème de Bézout. Mais tandis que les propriétés d’une 
courbe plane ou d’une surface algébrique, complète ou décomposée, se 
retrouvent toujours dans la courbe plane ou la surface algébrique 
générale du même ordre, ce fait n’a plus lieu pour les courbes gauches 
ni en général, pour les variétés dépendant de plusieurs équations. En 
effet, les courbes gauches du m ième ordre, bien que possédant des pro 
priétés dépendant uniquement du nombre m (par ex. le nombre de 
leurs points d’intersection avec une surface donnée), se classifient en 
différentes espèces [voir III25] lesquelles, pour des valeurs assez grandes 
de m, ne sont plus caractérisées ni par ce seul nombre, ni par ce 
nombre et celui des points doubles apparents, ni, semble-t-il, par une 
suite finie de nombres 4 ). On peut en dire autant de toute variété définie 
comme intersection de plusieurs variétés à plus de trois dimensions. 
3. Les concepts de „général“ et de „spécial“; formules de 
Plücker, Cayley, Salmon, etc. On appelle classe d’une courbe plane 
le nombre de ses tangentes qui passent par un point donné du plan. 
Conformément au principe de dualité, la définition d’une courbe plane 
par sa classe a le même degré de généralité que sa définition par 
son ordre. 
Etant donnée une courbe plane du wz ième ordre, par un point de 
son plan on peut toujours mener m(m —- 1) droites telles que sur 
chacune d’elles, deux points d’intersection avec la courbe sont réunis 
en un seul. J. V. Poncelet 24 ) qui a trouvé ce résultat donne aussi la 
raison du paradoxe 5 ) qui consiste en ce qu’une courbe serait, en 
4) Voir G. II. Halphen, Bull. Soc. math. France 2 (1873/4), p. 69. 
Comme l’a fait remarquer Ed. Weyr [Diss. Prague 1873] on a, par exemple, 
deux espèces de courbes gauches du 9 lème ordre tout à fait distinctes quoique 
ayant les unes et les autres 18 points doubles apparents. 
De là résulte que deux courbes gauches du même ordre m, ayant toutes 
deux le même nombre de points doubles apparents (ou du même genre p) peuvent 
avoir des propriétés bien différentes, même parmi celles qui rentrent dans le 
cadre de la géométrie énumérative. Une énumération relative à une courbe 
gauche ne conduira donc pas toujours à des expressions ne dépendant que de 
m et h (ou de m et p). Voir à ce sujet n° 9. 
5) J. V. Poncelet, Traité des propriétés projectives des figures, (l re éd.) Paris 
1822; (2 e éd.) 1, Paris 1865; 2, Paris 1866, p. 67, 228; J. reine angew. Math. 4 
(1829), p. 12; 8(1832), p. 392. C’est cette contradiction apparente qui avait amené