3. Les concepts de „général“ et de „spécial“. 263 
général, à la fois d’une classe plus élevée que son ordre et d’un ordre 
plus élevé que sa classe. 
Les m(m — 1) droites en question seront en effet autant de tan 
gentes à la courbe regardée comme cas spécial de la courbe générale 
du ?w ième ordre; tandis que si on l’envisage comme courbe de w ième 
classe, on ne doit plus compter parmi ses tangentes que celles qui 
constituent, dans leur ensemble, une variété irréductible. Par suite, 
on doit diminuer le nombre des tangentes, parce que certaines des 
droites en question passent par un point double, ou multiple; et, 
dualistiquement, l’ordre d’une courbe est abaissé par la présence de 
tangentes singulières. 
Ainsi le paradoxe s’explique par le fait que si m > 2 (n > 2), 
la courbe est nécessairement affectée de quelque point singulier ou de 
quelque tangente singulière. Ici, comme ailleurs [n os 9, 20, 21, 31], 
surtout lorsqu’il s’agit de figures définies par des nombres, les attri 
buts de „général“ et „spécial“ sont à employer ou non, suivant la façon 
dont la question se pose * 6 ). 
C’est par des considérations de cette nature que J. PlücJcer fut 
amené à introduire dans ses formules [III 19] envisagées comme 
générales, les quatre singularités, dites singularités pluckériennes, qui 
doivent se présenter pour une courbe plane quand on donne des valeurs 
assez grandes à sa classe ou à son ordre, savoir: 
1°) points doubles, 
2°) points de rebroussement, 
3°) tangentes doubles, 
4°) tangentes stationnaires. 
Afin de les rendre valables aussi dans le cas d’une courbe douée de 
singularités arbitraires, G. H. Halphen [III 19] a donné aux règles 
exprimées par les formules de Plücker les formes suivantes, assez com 
modes pour les énumérations 7 ): 
«Si, pour chaque droite a, issue d’un point P donné hors de la 
courbe, et rencontrant cette courbe en des points confondus, on calcule 
J.D. Gergonne [Bull. sg. math. astr. phys. chim. 9 (1828), p. 302; 10 (1828), p. 285] 
à admettre que la classe de chaque courbe plane est égale à son ordre. 
6) C’est pour cela que H. G. Zeuthen [Math. Ann. 4 (1871), p. 633; 10 
(1876), p. 446], en définissant les caractères projectifs d’une surface, distingue 
nettement les singularités d’une surface en singularités provenant de la spécia 
lisation de la surface envisagée comme un lieu de points et en singularités 
provenant de la spécialisation de la surface envisagée comme une enveloppe 
de plans. 
7) Voir les mémoires cités n° 2, note 3.