8. Les concepts de „général“ et de „spécial“. 
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quand A. JBrill démontra la possibilité d’obtenir au moins chaque 
courbe rationnelle douée de singularités supérieures, comme limite de 
courbes où toutes les singularités pluckériennes indiquées par les équi 
valents se présentent séparément 11 ). 
A côté des formules de J. Plüclier apparaissent d’abord celles de 
A. Cayley pour les courbes gauches et les surfaces développables [III25] 
ainsi que leur généralisation aux espaces à plusieurs dimensions [III26], 
puis celles de G. Salmon et A. Cayley et autres concernant les surfaces 
[III 23]. On a aussi établi des relations numériques relatives aux 
complexes et aux congruences de droites [III 27] ainsi que pour les 
transformations géométriques, surtout crémoniennes [III 28]; et en 
général pour les différentes configurations de points, droites, plans etc. 
Ces formules s'obtiennent par l’Analyse aussi bien que par les 
méthodes énumératives dont nous parlerons plus loin; toutefois les 
résultats sont toujours du domaine de la géométrie énumérative et 
pourront être utilisés à leur tour, pour en déduire d’autres résultats de 
même nature. C’est bien dans ce sens que l’on a toujours employé 
le théorème de Bézout; que des formules de Plücker on a tiré celles 
de Cayley ; que les formules de Salmon ont fait découvrir immédiatement 
les 27 droites d’une surface du troisième ordre [III24] et ainsi de suite. 
4. Emploi synthétique de résultats acquis antérieurement. A 
une époque où il n’était pas encore rigoureusement démontré, on 
11) Math. Ann. 16 (1880), p. 348. 
Il ne faudrait pas conclure de là que, en géométrie énumérative, chaque 
singularité peut toujours être représentée par ses équivalents pluckériens, ou 
chaque courbe par les nombres de Plücker qui en découlent. En effet, parmi les 
courbes affectées des mêmes nombres de Plücker, il y en a vraisemblablement qui 
sont d’espèces tout à fait différentes [cf. n oa 2 et 9]. D’autre part, lorsqu’on envisage 
une courbe comme un cas spécial d’une autre courbe n’ayant que des singu 
larités plückériennes, il arrive parfois que les solutions d’un problème par rapport 
à des courbes douées de singularités supérieures ne se présentent qu’associées 
avec des solutions étrangères. Une troisième raison s’ajoute d’ailleurs aux deux 
précédentes: un problème énumératif peut fort bien ne viser que des courbes 
qui tout en appartenant à une espèce définie par ses nombres de Plücker consti 
tuent dans cette espèce une classe spéciale définie par des modules particuliers 
[cf. n°17, notes 134, 136 et, au n” 32, note 249, les théorèmes de G. H. Halphen 
à ce sujet]. On peut enfin remarquer que ce ne sont pas toujours les mêmes 
équivalents plückériens qui sont utiles dans l’étude de courbes se présentant 
comme des cas spéciaux d’autres courbes ayant même ordre et même classe 
qu'elles, sans avoir cependant le même genre [cf. H. G. Zeuthen, Math. Ann. 10 
(1876), p. 210, 446]. On consultera aussi à ce sujet A. Brill et M.Nother, Die 
Entwicklung der Théorie der algebraischen Funktionen in altérer und neuerer 
Zeit [Jahresb. deutsch. Math.-Yer. 3 (1892/3), éd. 1894, p. 393].