5. Principe de continuité de Poncelet. 
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du lieu uon pas avec une droite arbitraire, mais avec une droite menée 
par le point que nous avons appelé E. D’après la construction in 
diquée, mn de ces points sont alors confondus en E; les autres, au 
nombre de mn sont différents de E\ l’ordre cherché sera donc 2mn. 
Ce procédé s’applique en particulier au cas oùw = » = l, c’est- 
à-dire quand le lieu cherché est une conique. J. V. Poncelet fait voir 
comment le théorème ainsi démontré peut devenir le point de départ 
d’une étude énumérative des coniques. Afin de pouvoir généraliser 
cette étude, il s’appuie sur le fait que deux courbes du second degré 
ont quatre points communs. Ce théorème, de même que le théorème 
général de E. Bézout, est aussi une conséquence du principe de con 
tinuité, suivant lequel on peut remplacer l’une des courbes par un 
système de droites * 22 ). J. V. Poncelet donne aussi les fondements énumé- 
ratifs d’une théorie des surfaces du second ordre. De ce qu’une courbe 
est coupée en quatre points par une conique, on y déduit, par exemple, 
qu’elle est nécessairement du second ordre 23 ). 
Pour trouver la classe d’une courbe d’ordre m, J. V. Poncelet 24 ) 
utilise un faisceau de droites parallèles. Sur chacune de ces droites, 
il porte, à partir du point de rencontre avec une transversale arbi 
traire l et dans les deux sens de la droite les Ü cordes inter 
ceptées sur celles-ci par la courbe. Il obtient ainsi des segments 
ayant tous leur origine sur Z; le lieu de leurs extrémités sera une 
courbe coupée en m(jn — 1) points par chaque droite du faisceau, 
courbe qui est donc d’ordre m(m — 1). Or les m(m. — 1) intersections 
de cette courbe auxiliaire avec l vont se trouver sur m(m — 1) droites 
du faisceau qui sont tangentes à la courbe donnée. De là on con 
clut que le nombre des tangentes issues d’un point arbitraire est 
aussi m(m — 1). 
J. V. Poncelet étudie aussi T’influence d’un point double sur la 
classe de la courbe; de l’application de ce résultat à une courbe dé 
composée en deux courbes partielles, il tire une nouvelle démonstration 
du théorème de Bézout. 
appliqué, le premier le procédé de W. Braikenridge, et le second celui de J. V. 
Poncelet, pour résoudre des questions semblables. 
22) Propriétés projectives 6 ), (2 e éd.) 1, p. 374. 
23) Id. (2 e éd.) 1, p. 373 et suiv.; voir en partie, p. 384. 
24) Id. (2° éd.) 2, p. 216; J. reine angew. Math. 8 (1832), p. 394. 
H. G. Zeuthen [Lebrbucb x ), n os 10 à 12] montre que cette façon de procéder 
pour établir le théorème de Bézout et déterminer la classe d’une courbe amène 
naturellement à formuler la règle de G. H. Halphen mentionnée au n° 2 et la 
première règle du n° 3.