9. Généralisations inductives; méthode fonctionnelle de Cayley. 277 
Par cette voie, A. Cayley réussit aussi à déterminer le nombre 
des sécantes quadruples, et plus tard 60 ) celui des coniques satisfaisant 
à cinq conditions de contact avec une courbe donnée. 
Le problème des sécantes multiples d’une courbe gauche a été 
généralisé ensuite par G. Castelnuovo 61 ), auquel on doit la recherche 
du nombre des espaces linéaires à r dimensions contenus dans un 
même espace à s dimensions, et coupant une courbe algébrique don 
née en r -f- 2 ou en 2r + 2 points, suivant que s est égal à 2r + 2 
ou à r -f- 2. A cet effet il établit, lui aussi, en principe que le 
nombre cherché ne dépend que de l’ordre et du genre de la courbe. 
C’est donc d’une hypothèse analogue à celle qu’avait faite A. Cayley 
pour un espace à trois dimensions que découle sa détermination, 
fondée sur les résultats précédents, du nombre des groupes spéciaux 
d’une courbe auxquels appartiennent des points donnés en nombre 
suffisant. 
De même A. Tanturri 62 ) et A. Crêpas, qui ont poursuivi les re 
cherches de G. Castelnuovo relatives à des espaces à r dimensions, re 
gardent la courbe considérée comme suffisamment définie par son 
ordre et son genre; ce qui a permis à A. Tanturri de la remplacer par 
un système de droites. Il emploie cette décomposition notamment 
pour les courbes de genre 0 ou 1; les droites forment alors un po 
lygone respectivement ouvert ou fermé 63 ). 
celle du nombre des sécantes triples d’une courbe située dans un espace à quatre 
dimensions peut être obtenue en modifiant un peu la méthode de C. F. Geiser. 
60) Philos. Trans. London 158 (1868), p. 99; Papers 6, Cambridge 1893, 
p. 216. Cf. n° 27, note 210. 
61) Atti R. Accad. Lincei Rendic. (4) 5 II (1889), p. 130; Rend. Cire, mat. 
Palermo 3 (1889), p. 27. 
Voir aussi F. Klein, Riemannsche Flâchen 2 (cours autographié) Gôttingue 
1892, p. 110/5. 
Pour une autre détermination des groupes spéciaux voir note 138. 
62) A. Tanturri [Ann. mat. pura appl. (3) 4 (1900), p. 67 ; Atti Accad. Torino 
35 (1899/1900), p. 427; 37 (1901/2), p. 322; 39 (1903/4), p. 483]; A. Crêpas [Reale 
Ist. Lombarde Rendic. (2) 35 (1902), p. 883]. 
Quelques unes des formules très condensées de A. Tanturri sont obtenues 
par induction. Dans le cas des courbes rationnelles, sa formule (qui convient aux 
courbes en général) avait déjà été établie par induction par W. F. Meyer 
[Apolaritât und rationale Kurven, Tubingue 1883, p. 363] en s’appuyant sur des 
résultats obtenus pour la plupart par des procédés analytiques. F. Severi [Atti 
R. Accad. Lincei Rendic. (5) 9 I (1900), p. 379] démontre la même formule géné 
rale en appliquant le principe de correspondance [n° 17] et en donne une géné 
ralisation. 
63) *M. Nôther [Acta math. 8 (1886), p. 161/92] a démontré que si t courbes