280 H. G. Zeuthen. III 4. Géométrie émimérative. M. Pieri. 
Supposons qu’une condition imposée à des figures F se traduise 
par une correspondance œ entre les figures F et certaines autres 
figures J -1 '; pour que le principe de la conservation du nombre et le 
calcul symbolique qui s’y rattache [n° 24] soient alors applicables 
sans réserve il faut et il suffit que la correspondance œ soit irréduc 
tible ou qu’elle se décompose en une somme de plusieurs correspon 
dances irréductibles telles que 
I o ) les éléments F qui correspondent à un élément générique F' 
se distribuent en des variétés de la même dimension; 
2°) les variétés des F' homologues à la variété de tous les F 
dans la même correspondance aient elles aussi la même dimension. 
Cependant, d’après H. G. Zeuthen u ), la possibilité d’appliquer en 
toute rigueur la méthode de la conservation du nombre ne dépend pas 
de la façon plus ou moins condensée ou détaillée dont on formule le 
principe du même nom. Aucune façon de formuler le principe ne peut 
suffire tant qu’elle ne contient pas une indication précise, valable dans 
tous les cas, des multiplicités auxquelles les nombres, résultant dans 
les cas particuliers de la décomposition du nombre invariable, sont 
affectés. 
La détermination de ces multiplicités est un des problèmes fonda 
mentaux qu’il faudrait avant tout résoudre en géométrie énumérative. 
La question posée par E. Study et G. Kohn, relative aux solutions 
qu’on peut accepter ou à celles qu’il faut rejeter, rentre comme cas 
particulier dans le problème fondamental en question; ce problème 
une fois résolu, le nombre des solutions qu’il faut rejeter est, en effet, 
le nombre des solutions affectées de la multiplicité zéro. 
La détermination des multiplicités peut être obtenue en regardant 
toujours les cas particuliers dont on fait usage pour parvenir à un 
dénombrement plus général comme des cas-limites et en s’assurant 
que chaque fois le passage à la limite est rigoureux, ce pour quoi il 
suffit de se conformer entièrement aux règles prescrites au début de 
ce n° 9. 
Abstraction faite des recherches que nous venons de mentionner, 
recherches dans lesquelles on avait négligé de s’assurer que les cas 
servant au dénombrement étaient effectivement des cas limites de tous 
74) G. R. du Congrès des mathématiciens Scandinaves Stockholm 1909, éd. 
Leipzig 1910, p. 32. Voir surtout Lehrbuch x ), chap. 1, où se trouvent développés 
les principes généraux qui sont à la base des méthodes énumératives, en parti 
culier ceux dont dépend l’application rigoureuse de la méthode de la conser 
vation du nombre, avant de passer (chap. 2) à un exposé systématique des types 
auxquels se ramènent ces applications.