10. Problèmes à un nombre infini de solutions. 
281 
, 'Hf'i 
üi 
les cas plus généraux auxquels le résultat devait s’appliquer, on a en 
fait toujours observé ces règles en appliquant le principe de J. V. 
Poncelet et de H. Schubert 75 ). 
Les mêmes précautions en passant à la limite sont d’ailleurs 
également nécessaires lorsqu’on géométrie analytique on applique in 
versement les résultats obtenus dans le cas général à des cas parti 
culiers déterminés. 
10. Problèmes à un nombre infini de solutions. Il peut ar 
river qu’un problème, bien que comportant en général un nombre fini 
déterminé n de solutions, donne, dans certains cas limites, plus de n 
solutions: il en comporte alors nécessairement un nombre infini 76 ). 
On conclut de là par ex. que si mn -(- 1 points d’une courbe 
d’ordre m sont situés sur une courbe ou surface d’ordre n, la courbe 
75) Déjà J. V. Poncelet insiste sur la nécessité d’envisager les cas spéciaux 
comme des cas limites [voir par ex. Propriétés projectives 5 ), (2 e éd.) 1, p. 407]; le 
nom même de „principe de continuité“ y fait évidemment allusion. 
Voir aussi la remarque de J. Pli. JE. de Fauque de Jonquicres iV ). Dès que 
l’on regarde les cas spéciaux comme des cas limites et non comme des cas isolés, 
la première des restrictions formulées par G. Kohn devient inutile, savoir que 
les cas considérés constituent un ensemble fermé au sens de G. Cantor. 
Il faut plutôt remarquer qu’une même figure peut être la limite de deux 
ensembles de figures distincts l’un de l’autre. 
C’est surtout le désir de se conformer à cette façon de voir qui a parfois 
amené les géomètres à donner des réponses différentes à une même question 
suivant le problème où elle se posait; ainsi, suivant les cas, ils comptaient ou 
ne comptaient pas, parmi les sécantes doubles d’une courbe gauche, les droites 
passant par un véritable point double de cette courbe [G. JB. Guccia, Rend. Cire, 
mat. Palermo 1 (1887), p. 27; L. Berzolari, id. 9 (1895), p. 190; A. Tanturri, 
Ann. mat. pura appl. (3) 4 (1900), p. 97]. On doit regarder chacune de cea 
droites comme une corde de la courbe gauche donnée lorsque cette courbe 
gauche appartient à un ensemble de courbes de même genre et que le point 
double de la courbe donnée provient de ce que deux branches ne se coupant pas 
pour chacune des courbes voisines viennent, en se rapprochant continuellement, 
à se couper pour la courbe donnée. On doit au contraire regarder chacune 
des droites passant par le point double comme une sécante ordinaire lorsque le 
point double entraîne pour la courbe donnée un abaissement du genre des 
courbes de l’ensemble en sorte qu’il survient dans l’ensemble des courbes comme 
un fait entièrement nouveau propre à la courbe donnée; ce fait se présente par 
exemple à l’occasion d’un contact éventuel entre deux surfaces passant par la 
courbe. Le fait qu’une courbe plane du troisième ordre ayant un point double 
est cas limite soit des courbes planes générales du troisième ordre, soit des 
courbes gauches du troisième ordre appartient à la même catégorie. Plusieurs 
exemples de ce genre se trouvent dans E. Study, Geometrie der Dynamen, 
Leipzig 1903. 
76) Abzâhlende Geom. 47 ), p. 13.