282 H. G. Zeuthen. III 4. Géométrie énumérative. M. Pieri. 
tout entière, ou quelqu’une de ses parties, devra se confondre avec l’autre 
courbe, ou avec une partie de celle-ci, ou se trouver sur la surface. 
C’est en partant de ce principe que C. Maclaurin' 11 ) démontre qu’une 
courbe irréductible du m ièm0 degré a au plus ~{m — \){m—2) points 
doubles. 
Cette forme de déduction a été considérée par J. V. Poncelet 77 78 ), 
qui l’emploie fréquemment, comme une application du principe de con 
tinuité. Elle joue un rôle fondamental dans l’exposition des théorèmes 
sur les groupes de points d’intersection en faisant disparaître les in 
certitudes relatives à l’énumération 79 ) des constantes [III 19] ainsi que 
dans la recherche des droites et des autres courbes particulières pou 
vant se trouver sur certaines surfaces. 
On a étendu ces déductions à d’autres figures de l’espace 80 ). 
C’est par la méthode indiquée ici, c’est-à-dire par de simples 
énumérations, que A. Hurwitz 81 ) démontre les théorèmes dits de „fer 
meture", ceux de J. V. Poncelet et d’autres encore [III 17]. 
Lorsqu’on cherche à déterminer, par exemple, un polygone de n 
côtés inscrit dans une conique donnée, et circonscrit à une autre co 
nique donnée, la coïncidence du premier sommet avec le (n -f- l) ièm9 
peut se ramener à une équation biquadratique. Si un polygone rem 
plit les conditions du problème, ses n sommets donnent autant de 
racines doubles de cette équation, laquelle par conséquent doit être 
satisfaite identiquement. Le problème aura donc une infinité de so 
lutions quand il en aura une. Aux quatre racines de l’équation ne 
correspondent pas, en général, des solutions proprement dites. 
77) Geometria organica 12 ), p. 137. 
78) J. V. Poncelet en fait usage par exemple pour établir que la courbe de 
contact entre deux quadriques est plane; il montre, à cet effet [Propriétés pro 
jectives 5 ), (2 e éd.) 1, p. 374] que le plan qui contient trois points de cette courbe 
coupe les deux quadriques suivant deux coniques ayant six points communs. J. 
V. Poncelet [id. (2 e éd.) 1, p. 347] s’en sert aussi pour démontrer ses théorèmes 
dit „de fermeture“ qu’on va rappeler à l’instant (note 81). 
79) Ce point de vue numérico-géométrique a été signalé par H. G. Zeuthen 
[Math. Ann. 31 (1888), p. 235], 
80) Par exemple, en déterminant le nombre des faisceaux de droites dont 
cinq rayons appartenant à un même complexe algébrique rencontrent cinq droites 
arbitraires données, on trouve en même temps pour un complexe du quatrième 
degré le nombre des faisceaux de droites qui y sont entièrement contenus 
[H. Schubert, Math. Ann. 12 (1877), p. 220] (cf. note 191). 
81) Math. Ann. 15 (1879), p. 8. 
Les oo 1 tétraèdres qui sont à la fois inscrits dans une cubique gauche et 
circonscrits à une autre cubique gauche ont été étudiés systématiquement par 
W. F. Meyer [Apolaritat 82 )].