284 H. G. Zeuthen. III 4. Géométrie énumérative. M. Pieri. 
section d’une enveloppe de courbes planes, ou de surfaces, ou encore 
de l’arête de rebroussement d’une enveloppe de surfaces, avec une 
courbe ou une surface, il nous indique que les courbes ou surfaces 
enveloppées passent nécessairement par des points fixes ou des lignes 
fixes 87 ). 
Plus généralement, on peut raisonner comme il suit: si dans une 
équation algébrique 88 89 ) 
/'O, y) = 0, 
il arrive qu’il n’existe aucune valeur de x pour laquelle y puisse prendre 
quelque valeur que ce soit assignée à l’avance, il faut que y soit indé 
pendant de x. Et comme alors la valeur constante de y peut toujours 
être obtenue en envisageant un cas particulier, toute proposition qui 
s’exprime par une équation algébrique pourra se démontrer à l’aide 
d’une énumération ayant zéro pour résultat. 
C’est de cette méthode que E. B. EoIst 8ÿ ) a fait, le premier, un 
usage systématique dans la recherche de nombreuses propositions mé 
triques. H. G. Zeuthen 90 ) en a fait ressortir l’utilité pour la démons 
tration des théorèmes relatifs à l’invariabilité de certains rapports 
anharmoniques-, il suffit pour cela de prouver que deux quelconques 
des quatre éléments ne peuvent se confondre sans entraîner avec eux 
un troisième élément au moins. 
87) Par exemple, du fait que l’arête de rebroussement de l’enveloppe E 
des plans dont chacun coupe suivant deux coniques une même surface de qua 
trième ordre à conique double ne rencontre pas le plan de cette conique, on 
déduit que l’enveloppe E est constituée par des cônes [H. G. Zeuthen, Om 
Flader 86 ), p. 22; Ann. mat. pura appl. (2) 14 (1886/7), p. 47]. 
88) En modifiant un peu ce procédé on peut l’appliquer à certaines équa 
tions transcendantes; la modification nécessaire résultera alors du théorème de 
É. Picard [II 8, 29]. 
89) Bull. Soc. math. France 8 (1879/80), p. 52; et surtout: Diss. Christiania 
1882; Forhandlinger Yidenskabs-Selskabet Christiania 1882, éd. 1883, mém. 
n° 11; Archiv for Math, og Naturvidenskab (Christiania) 7 (1882), p. 240 (en 
allemand). 
On peut citer par ex. le théorème suivant: 
D’un point P menons une transversale d à une courbe algébrique plane 
donnée; supposons quelle la rencontre en n points Q x , Q t , ..., Q n et désignons 
par a,, a 2 , ..., a n les n asymptotes de la courbe. Le produit 
PQi -PQi ■■■ PQn ■ sin ( d i «i) • sin (d, «»)••• sin (d, «„) 
est indépendant de la direction de la transversale d que l’on envisage; il ne 
s’annule pas, en effet, quelle que soit cette transversale [III19]. 
90) Nyt Tidsskrift mat. Kôbenhavn (Copenhague) Afd. B, 10 (1899), p. 49. 
H. G. Zeuthen [Math. Ann. 26 (1886), p. 247] avait déjà fait d’autres applications 
de cette même remarque. Voir aussi Lehrbuch 1 ), n os 51 à 53.