17. Correspondance entre les points d’une courbe ou d’une surface. 293 
De là résulte que le nombre y ne saurait être modifié par l’échange 
des points x et y. 
Il arrive souvent dans les applications 129 ) que la courbe auxiliaire 
a plusieurs sortes de points d’intersection variables avec la courbe 
donnée; de sorte qu’un certain nombre n d’entre eux coïncident avec 
des points y homologues de x suivant une correspondance {a, /3) possé 
dant c points doubles, tandis qu’un nombre ri d’entre eux coïncident 
avec des points y homologues de x suivant une correspondance (a, /3') 
possédant c points doubles, et ainsi de suite. Dans ce cas la formule 
prend la forme suivante: 
(2) n{c — a — /3) -f- ri (c' — a — /3') + • • • = 2yp. 
La formule (1) de correspondance de A. Cayley a été démontrée 
par A. Brill. En étudiant 130 ) la résolution algébrique des problèmes de 
contact indiqués plus haut et dont J. Ph. E. de Fauque de Jonquières 
et A. Cayley avaient trouvé le nombre de solutions, il fut amené à 
déterminer, en général, les couples de points d’une courbe dont les 
coordonnées vérifient à la fois deux équations algébriques 131 ); et à 
traiter d’autres questions qui s’y rattachent, comme la recherche analogue 
pour des groupes de trois ou quatre points. Il aboutit ainsi non seule 
ment à une démonstration purement algébrique 132 ) mais encore i33 ) à une 
démonstration géométrique du théorème proposé par A. Cayley; dans 
cette dernière démonstration, on envisage aussi d’une manière complète 
l’influence des points singuliers. Pour engendrer les points homologues 
sur la courbe, A. Brïll fait les mêmes hypothèses que A. Cayley ; d’après 
ces hypothèses le nombre y, que A.Brill a appelé valence (Wertigkeit) 
de la correspondance, ne pouvait être que positif ou nul. 
La recherche de toutes les correspondances algébriques possibles 
entre deux points d’une courbe a été faite par A. Hurwitz 134 ) au moyen 
129) A. Cayley [Philos. Trans. London 158 (1868), p. 145; Papers 6, Cam 
bridge 1893, p. 263] applique son théorème à la recherche de courbes ayant 
plusieurs contacts avec une courbe donnée et [Philos. Trans. London 161 (1871), 
p. 369; Papers 8, Cambridge 1895, p. 212] à la recherche de triangles à la fois 
inscrits et circonscrits à des courbes données. 
130) Math. Ann. 3 (1871), p. 469; 4 (1871), p. 527. On trouvera plus de 
détails sur les recherches dont il va être question, dans A. JBrill et M. Nother, 
Die Entwicklung der Théorie der algebraischen Funktionen in altérer und neuerer 
Zeit [Jahresb. deutsch. Matin-Ver. 3 (1892/3), éd. 1894, p. 530/65]. 
131) Math. Ann. 4 (1871), p. 510. 
132) Id. 6 (1873), p. 33. 
133) Id. 7 (1874), p. 607. 
134) Ber. Ges. Lpz. 37 (1885), math. p. 10; Math. Ann. 28 (1887), p. 561. Il a