294 H. G. Zeuthen. III 4. Géométrie énumérative. M. Pieri. 
des intégrales abéliennes. Il trouva que la formule (1) de Cayley-Brill 
est applicable à toutes les correspondances dont l’existence n’est pas 
bornée à des courbes algébriques caractérisées par des valeurs particu 
lières des modules (correspondances à valence) ; le nombre y peut parfois 
être négatif, mais ce cas ne peut se présenter que quand la corres 
pondance considérée provient de la décomposition rationnelle d’une autre 
correspondance représentée au moyen d’une équation, en sorte que la 
correspondance répondant à un y négatif ne saurait être complètement 
définie qu’à l’aide de deux équations au moins. La décomposition en 
question est d’ailleurs envisagée dans la formule (2) de A. Cayley xr °). 
Pour le nombre des coïncidences relatives aux correspondances singulières 
sur des courbes à modules particuliers, A. Hurwitz a trouvé l’expression 
a + P + c 1 X 1 -{- c 2 jl 2 + • • • + 
où les quantités c en nombre fini, sont des constantes relatives à la 
courbe et où les A caractérisent la correspondance envisagée 135 136 ). Il 
ensuite [Math. Ann. 32 (1888), p. 290] donné d’autres applications des résultats 
obtenus. 
Une méthode semblable concernant le principe de correspondance avait été 
déjà suivie auparavant par F. Lindemann [J. reine angew. Math. 84 (1878), p. 300; 
voir aussi dans A. Clébsch, Yorlesungen über Geometrie, publ. par F. Lindemann 1, 
Leipzig 1876, p. 661/923; trad. Ad. Benoist 2, Paris 1880, p. 146]. 
Dans F. Klein [Yorlesungen über die Théorie der elliptischen Modulfunk- 
tionen publ. par B. Friche 2, Leipzig 1892, p. 518] les correspondances algébriques 
sont traitées d’après A. Hurwitz. Yoir aussi H. F. Baher [Abels Theorem and 
the allied theory, Cambridge 1897, p. 639] et H. Burhhardt, C. R. Acad. sc. Paris 
126 (1898), p. 1854. 
135) Voir A. Brill, Math. Ann. 31 (1888), p. 406. Dans les recherches qui 
commencent à la p. 374 de ce mémoire et qui continuent [Math. Ann. 36 (1890), 
p. 321] on poursuit avec soin les procédés d’élimination qui se rattachent à la 
recherche des coïncidences dans les correspondances algébriques, ou respective 
ment à celle des „groupes exceptionnels de points“ sur une courbe plane. Yoir 
aussi F. Junher, Diss. Tubingue 1889. 
136) Quelques exemples de telles correspondances singulières, exemples qui 
sont précisément ceux qui ont amené A. Hurwitz à édifier sa théorie, sont fournis 
par les équations modulaires dites „irrationnelles“ [cf. F. Klein, Math. Ann. 17 
(1880), p. 62]. L’un d’eux est particulièrement simple, c’est celui de la corres 
pondance (1, 1) signalée par F. Klein [Math. Ann. 15 (1879), p. 279], entre les 
points d’une cubique harmonique, correspondance que l’on peut définir de la 
manière suivante: D’un point a fixé sur la cubique on mène à cette cubique les 
deux couples harmoniquement conjugués de tangentes et l’on construit ensuite 
deux rayons axx' et ayy de l’involution pour laquelle les éléments doubles 
sont l’un ou l’autre de ces deux couples des tangentes; entre les points x, y où 
la courbe est coupée par ces deux rayons variables il y a une correspondance 
(2, 2) qui se décompose rationnellement en deux correspondances (1,1) [cf. C. Segre, 
Atti Accad. Torino 24 (1888/9), p. 734; F. Amodeo, Ann. mat. pura appl. (2) 19