17. Correspondance entre les points d’une courbe ou d’une surface. 297 
H. G. Zeuthen U4 ) a jugé convenable d’affecter d’une valence chaque 
correspondance entre deux points d’une courbe; cette valence y est 
déterminée par l’équation (1) et peut donc avoir une valeur fractionnaire. 
Lorsqu’une correspondance se décompose, les équations (2) de A. Gayley 
subsistent encore, et elles permettent non seulement de déterminer les 
correspondances désignées plus haut sous le nom de correspondance à 
valence, mais aussi, par divisions, les correspondances de même type 
dans lesquelles une telle correspondance se décompose dans certains 
cas particuliers. C’est ainsi que l’on peut, par exemple, déterminer les 
valences des correspondances singulières sur une cubique harmonique 
(note 136) ou équianharmonique; ils sont égaux à 0, { ou — Dans 
d’autres cas, le nombre des coïncidences peut être déterminé par l’intro 
duction [cf. note 137] de nouveaux points doubles, et on en conclut 
ensuite la valence cherchée 144 145 ). 
H. G. Zeuthen 146 ) a aussi établi un théorème de correspondance 
concernant une surface donnée. Soient [cf. n° 16] a et /3 les nom 
bres des points correspondant à un point P de la surface, et y l’ordre 
de la courbe dont les points correspondent à ceux d’une section 
plane de la surface; soient m Fordre de la surface et J l’invariant de 
Zeuthen-Segre correspondant à cette surface [n° 19, notes 160 et 163]; 
soient enfin | le nombre des points isolés de coïncidence, p l’ordre de la 
courbe de coïncidence, £ l’ordre de la surface réglée dont les génératrices 
relient entre eux les points de coïncidence situés sur la courbe de 
coïncidence, et œ le nombre des points d’intersection de la courbe de 
coïncidence avec un cône arbitraire circonscrit à la surface. Le nombre x 
déterminé par la relation 
l + + œ = a + /3 + -|- — x(J -f 1) 
est alors ce qu’on appelle la valence de la correspondance. 
Si l’on prend pour points correspondants y d’un point x les points 
Palermo 17 (1908), p. 104; Atti R. Accad. Lincei Bendic. (5) 12 I (1903), p. 303] et 
de F. Severi [Atti Accad. Torino 38 (1902/3), p. 185]. 
La généralisation du théorème d’Abel est donnée par F. Severi, Ann. mat. 
para appl. (3) 12 (1906), p. 55/79. Cf. note 163 et l’article III19. 
144) B. G. Zeuthen [Lehrbuch 1 ), n os 116 à 141] développe le théorème de 
correspondance de Cayley-Brill et en donne plusieurs applications. La même 
extension de la notion de valence avait été proposée par H. Burkhardt 134 ). 
145) H. G. Zeuthen utilise ici une détermination qu’il avait déjà donnée 
comme exemple d’une „correspondance sans valence“ [Atti del quarto congresso 
internazionale dei matematici in Rom a 1908, publ. par G. Castelnuovo 2, Rome 
1909, p. 227] avant d’avoir généralisé la notion de la valence. 
146) C. R. Acad. sc. Paris 143 (1906), p. 491, 535; Lehrbuch 1 ), n°* 152 à 157.