18. Théorème élémentaire du genre pour les courbes algébriques. 299 
suivant dû à G. H. Halphen 153 154 155 ): la différence y l — y 2 doit être rem 
placée par l’expression — %), où les nombres ^ et affectant 
deux points homologues M 17 Jf 2 expriment combien de points corres 
pondant à M 2 ou à M 1 sont respectivement absorbés par M t ou par 
fff 2 ; la somme H est étendue à tous les couples de points M t) 
pour lesquels rj 1 ^ . 
Pour toute courbe algébrique plane, le genre p peut d’ailleurs 
être calculé, d’après la formule suivante 154 ) 
2(p — 1) = n -f — 1) — 2m, 
dans laquelle m désigne l’ordre et n la classe de la courbe, y la 
multiplicité d’un cycle complet de la courbe et où U s’étend à tous 
les cycles de cette courbe [n° 3]. 
Outre les applications (relatives pour la plupart, à des problèmes 
de contact), que les auteurs précédents ont rattachées à ces formules 155 ), 
nous rappellerons celles qu’en a faites C. Segre 156 157 ) dans la géométrie 
des surfaces réglées et les recherches analogues, pour les hyperespaces; 
•et celles de A. Wiman 15r ) relatives à la courbe double d’une surface 
réglée et aux courbes algébriques se transformant en elles-mêmes d’une 
façon univoque. 
H. G. Zeuthen 158 ) emploie les formules précédentes pour la recherche 
■donnée par H. G. Zeuthen, voir n° 6, note 37. Dans son Lebrbucb 1 ), n 03 65 à 92 
il s’occupe du genre d’une courbe et de ses applications énumératives. 
JR. de Paolis a plus tard démontré le théorème en appliquant les principes 
de l’Analysis situs [III 6] à la surface de Riemann [Mem. mat. fis. Soc. ital. delle 
scienze (3) 7 (1890), p. 124; voir aussi la note 151]. Pour des interprétations géo 
métriques, voir G. Castelnuovo [Atti R. Accad. Lincei, Bendic. (4) 7 II (1891), p. 294] 
•et F.Severi [Reale Ist.Lombarde, Rendic.(2) 36 (1903), p.495]. Voir aussi la note 164. 
153) Bull. Soc. math. France 5 (1876/7), p. 9; H. G. Zeuthen [Acta math. 1 
(1882/3), p. 171] a étendu sa démonstration numérico-géométrique de façon à y 
comprendre le cas le plus général envisagé par G. JS. Halphen. 
154) G. H. Halphen, Bull. Soc. math. France 4 (1876/6), p. 29. 
155) Une autre application a été faite par JM. JBernhard 1S6 ). 
156) Atti R. Accad. Lincei Bendic. (4) 3 II (1886/7), p. 3; Math. Ann. 34 
(1889), p. 1. 
157) Diss. Lund 1892; Acta math. 19 (1895), p. 63; Bihang Svenska Yetensk. 
Akad. Handl., Afdelning I math. 21 (1896), mém. n° 3 [1895]. Les théorèmes 
■concernant le genre ont encore trouvé des applications aux énumérations géo 
métriques dans les recherches de G. Castelnuovo [Atti R. Accad. Lincei Bendic. 
(4) 5 II (1889), p. 130; (4) 7 II (1891), p. 295] sur les involutions rationnelles et 
irrationnelles de groupes de points situés sur une courbe donnée, ainsi que dans 
M. de Franchis 14S ). Cf. III19. 
158) Bull. sc. math.(2) 11 (1887), p.82; Rend. Cire. mat. Palermo 3 (1889), p.171. 
D’ordinaire la détermination ponctuelle de la courbe se prête assez bien