304 JT. G. Zeuthen. III 4. Géométrie énumérative. M. Pieri. 
droites, renferme, outre les quatre solutions proprement dites du pro 
blème, la droite double joignant les deux points comptée quatre fois. 
Au contraire le nombre 16 qui, d’après la même formule, serait celui 
des coniques passant par un point et tangentes à quatre droites, est 
illusoire, puisque, dans le sens actuel du contact, ce problème, a une 
infinité de solutions [n° 1]. 
En tenant compte de cette explication, J. Ph. F. de Fauque de 
Jonquières a eu soin plus tard de limiter les applications de la formule 
de J. N. JBischoff ainsi que celles de ses propres formules donnant le 
nombre des courbes qui ont plusieurs contacts d’ordre quelconque avec 
une courbe donnée [n° 7, note 40] aux seuls cas où le nombre des 
points donnés suffit, à lui seul, pour exclure la présence de courbes 
à branches multiples. 
D’autres résultats, également limités, sur les systèmes de courbes 
auxquelles on impose certaines singularités outre l’ordre, ont été établis 
par H. Krey 175 ). 
Si l’on remplace les conditions de contact de J. Ph. F. de Fauque 
de Jonquières par celles de rencontrer un certain nombre de courbes, 
chacune en des points dont trois soient en ligne droite, les applications 
de l’expression a ■ a de J. Ph. F. de Fauque de Jonquières, et aussi de 
l’expression plus générale a y + /5v de M. Chasles [cf. n° 22], sont 
soumises à des restrictions encore plus étroites 176 ). 
21. Les deux caractéristiques de Chasles. Dans ses études 
sur la détermination des coniques au moyeu de conditions données, 
M. Chasles trouva, indépendamment des recherches dont J. Ph. F. de 
Fauque de Jonquières avait indiqué la voie, un moyen d’éviter les 
difficultés précédentes. Pour définir le système, il recourut 177 ) à deux 
nombres y et v, appelés „caractéristiques“, dont le premier y coïncide 
avec l’indice de J. Ph. F. de Fauque de Jonquières [n° 20] tandis que 
Fautre v est le nombre des coniques du système qui sont tangentes 
à une droite donnée. Par là, au moyen du principe de correspondance 
[n° 13], il obtient une foule d’expressions donnant le nombre des co 
niques d’un système qui satisfont à des conditions indépendantes de lui. 
Les expressions se présentaient toujours sous la forme a y -j- fiv, où 
les nombres a et /3 dépendent exclusivement de la condition donnée. 
Au moyen de ces expressions, qu’il appelle „modules“ des con- 
175) Acta math. 7 (1885/6), p. 49. La déduction est conforme aux formules 
générales de H. G. Zeuthen pour les systèmes de courbes planes 107 ). 
176) H. G. Zeuthen [Lehrbuch 1 ), n° 161]. 
177) G. R. Acad. sc. Paris 58 (1864), p. 222, 297.