22. Caractéristiques des systèmes de courbes ou de surfaces. 305 
ditions 178 ) dont il s’agit, et à l’aide de certaines „substitutions géo 
métriques“ 179 ) ? on peut remonter successivement des caractéristiques 
relatives aux systèmes élémentaires, c’est-à-dire aux systèmes entière 
ment définis par des points donnés et des tangentes données, jusqu’au 
nombre des coniques qui satisfont à cinq conditions simples indépen 
dantes les unes des autres mais d’ailleurs arbitraires. Ces conditions 
étant caractérisées par les nombres 
«, Z 3 ; «» Z 3 '; • • •; <* IY , P lY , 
M. Chasles 179 ) trouva pour résultat l’expression 
ceaa"a"a 1Y + 2 ^acccc''a"p iy + 4:J?ccaa'p'"P 1Y 
+ 4j£aa'/3"/3"'/3 IV + 2^a/3 
Admettant la généralité de ce procédé M. Chasles 180 ) l’applique 
même à des cas où deux ou plusieurs conditions sont inséparables; c’est 
ainsi que pour représenter une condition double, il se sert des trois 
nombres 
au, a(i' -f- a (3, et /3/3'. 
22. Caractéristiques des systèmes de courbes ou de surfaces. 
L’attention de M. Chasles 181 ) s’était déjà portée sur un cas où l’ex 
pression 
ccfi -f- /3v 
demeure applicable à un système oo 1 de courbes, quel que soit le 
degré de celles-ci; ce cas était celui du problème qui consiste à trouver 
le nombre des courbes du système qui sont tangentes à une courbe 
donnée dont a est la classe et /3 l’ordre. 
Une extension analogue pour d’autres résultats de la même forme 
fut indiquée par J. Ph. E. de Fauque de Jonquières 18s ) qui trouva en 
outre dans beaucoup de cas, comme nombre des surfaces d’un système oo 1 
auxquelles on impose une nouvelle condition, un résultat de la forme 
+ yç, 
où les caractéristiques ¡i, v, q expriment le nombre des surfaces du 
système passant par un point donné, ou tangentes à une droite, ou 
tangentes à un plan 183 ). En particulier, pour la condition de contact 
178) C. R. Acad. sc. Paris 59 (1864), p. 348. 
179) Id. 69 (1864), p. 216. 
180) Id. 59 (1864), p. 315. L. Cremona [id. 59 (1864), p. 776, cf. note 209J 
apporte à ce procédé quelques modifications. 
181) C. R. Acad, sc. Paris 58 (1864), p. 308. Cf. n° IB, note 103. 
182) Id. 58 (1864), p. 535. 
183) Id. 58 (1864), p. 567; 61 (1865), p. 440. 
Encyclop. des soieno. mathémat. III 1. 
20