2B. Multiplication symbolique. 
so? 
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de systèmes, garde toute sa valeur dans les cas qui admettent la re 
présentation précédente; et ces cas sont les plus importants de ceux 
qui se présentent pour les courbes ou les surfaces du second degré. 
Naturellement, dans chacun des cas, il faudra prendre garde que la forme 
ou 
ap + (3v 
ap fiv + yç 
ne soit pas admise sans démonstration préalable. 
23. Multiplication symbolique. G. H Halphen 185 ) remarqua 
que la formule de Chasles [n° 21] pouvait être exprimée symbolique 
ment par le produit 
{ap + pv) {ap + P'v) {a'p + P'v) {a"'p + P"'v) {a™p + p* v ) f 
à condition que, dans la multiplication, le facteur p r v s fût remplacé 
par le nombre des coniques passant par r points et tangentes à s 
droites. 
Les facteurs symboliques ap -f fiv sont alors les modules des 
conditions respectives [n° 21, note 178]. De même, G. H. Halphen 
représenta le nombre des surfaces du second ordre satisfaisant à des 
conditions données par le produit des modules {ap + Pv + yç) corres 
pondant à ces conditions. 
C’est en partant de cette représentation symbolique à peine 
ébauchée dans les quelques cas indiqués que H. Schubert a créé un 
procédé général pour introduire successivement au sens de la géométrie 
énumérative des conditions nouvelles, indépendantes les unes des autres, 
dans une figure quelconque. 
Comme dans les exemples envisagés par G. H Halphen, chaque 
condition est, dans le procédé général de H. Schubert, exprimée linéaire 
ment, au moyen d’un module, par les symboles de certaines conditions 
élémentaires. 
En multipliant les modules relatifs à des conditions simples dont 
est formée une condition composée, on obtient le module de la con 
dition composée. On parvient ainsi de proche en proche, à une ex 
pression symbolique *telle que 
{ap + (iv) {a!p -fi (i'v) . . . {a^ n) p -fi p^v) 
+ (<q/q + ftVi) OiVi + /V v 0 • • • 0 (ni) .«i + 
+ 
185) C. R. Acad. sc. Paris 76 (1873), p. 1074.