25. Les formules de coïncidence de Schubert. 309 
l’un sur l’autre; deux droites sont incidentes lorsqu’elles se rencontrent. 
La première formule d’incidence concerne une droite g et un point p 
situé sur elle. Les symboles p et g désignent respectivement le nombre 
des points p situés dans un plan donné et le nombre des droites g 
rencontrant une droite donnée; ainsi pg est le nombre des couples 
d’éléments incidents {p, g) dont le premier appartient à un plan donné, 
tandis que le deuxième doit couper une droite donnée. En transpor 
tant la droite donnée sur le plan donné, on déduit immédiatement que 
(a) P9 = P g + 9 e , 
p g désignant le nombre des cas où p appartient à une droite donnée, 
g e celui des cas où g est située dans un plan donné. 
Ici, comme dans d’autres cas analogues, on sous-entend toujours 
que les figures considérées sont soumises non seulement aux conditions 
envisagées mais encore à un nombre d’autres suffisant pour qu’elles 
soient déterminées; ces autres conditions sont d’ailleurs arbitraires et 
on peut les introduire comme facteurs dans les deux membres 
de toutes les égalités symboliques relatives aux figures envisagées. 
H. Schubert commence par multiplier l’équation (a) par les deux con 
ditions p et g; puis il combine les formules ainsi obtenues entre elles 
et avec celles qui leur correspondent par dualité. 
Pour se rendre compte de la portée de ce procédé, il suffit de 
remarquer que la définition graphique d’une figure composée de points, 
de droites et de plans, repose entièrement sur des relations d’incidence 
entre des éléments. Par suite, si l’on envisage ces figures, le nombre 
de celles qui satisfont à des conditions de l’espèce indiquée pourra 
être obtenu en multipliant les modules correspondants à leurs divers 
éléments. 
La formule (a) peut déjà être appliquée aux couples formés par 
un point arbitraire d’une courbe gauche et la tangente en ce point: 
les nombres p et g sont alors respectivement le degré de la courbe 
et celui de sa développable (nombre de ses tangentes qui coupent une 
droite quelconque); g e exprime la condition de contact de la courbe 
avec un plan donné; enfin p g exprime la condition d’intersection avec 
une droite donnée. 
25. Les formules de coïncidence de Schubert; établissement 
de nouvelles formules. C’est au principe de correspondance que se 
rattachent en définitive [n° 23] les formules de coïncidence 189 190 ). Si on 
189) D’après H. Schubert [Math. Ann. 13 (1878), p. 430; Abzâhlende Geom. 47 ), 
p. 366] cette dénomination est due à H. Grassmann. 
190) Math. Ann. 10 (1876), p. 54; Abzâhlende Geom. 47 ), p. 42.