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H. G. Zeuthen. III 4. Géométrie énumérative. 31. Pieri. 
mentale. Il la représente par 
[a 0 , a XJ . .«J;* 
et le nombre des [s] qui vérifient à la fois plusieurs conditions de 
ce genre (lorsque ce nombre est fini) est un nombre fondamental 
des [s]. Ce nombre pourra être représenté par le produit de tous les 
symboles correspondant aux conditions données. 
La recherche de ces nombres fondamentaux revient toujours à 
exprimer le produit de deux conditions fondamentales au moyen d’une 
somme de conditions fondamentales, ^conditions caractéristiques tout 
à fait arbitraires*. 
C’est ce qui a pu être fait successivement dans les travaux que 
nous allons indiquer et qui comprennent tous les résultats obtenus 
par l’emploi des nombres mentionnés précédemment. Tout d’abord 
H. Schubert 197 ) lui-même a trouvé le nombre des [5] qui sont astreints, 
non seulement à vérifier la condition générale (a 0 , a x , . . ., a s ), mais 
aussi à rencontrer un nombre déterminé de [n — s— 1] donnés, chacun 
en un point. 
G. Castelnuovo 198 ) trouva ensuite le nombre des [s] qui, vérifiant 
toujours la condition fondamentale arbitraire (a 0 , a x , ..., a s ), s’appuient 
de plus sur un certain nombre de droites données. 
M. Pieri 199 ) transforma ensuite en une somme de conditions fonda 
mentales le produit d’une (a 0 , a x , . . ., a s ) par la condition de ren 
contrer un [ii] donné en un point, ou bien 200 ) par la condition de couper 
suivant un [r] un [n — s-fr—1] donné; ou enfin 201 202 203 ) par la condition 
de couper un [r] donné le long d’un [r — 1] appartenant à une figure 
fondamentale donnée. F. Palatini et G. Z. Giambelli m ) sont ensuite 
parvenus à représenter d’une manière analogue le produit de deux con 
ditions fondamentales arbitraires pour le cas de s = 2; et G.Z.Giam- 
belli 20S ) réussit même à établir la formule générale qui donne expli 
citement le produit de deux nombres fondamentaux de la droite. 
197) On en connaissait déjà quelques cas particuliers qui avaient été dé 
montrés analytiquement par W. F. 3Ieyer [Math. Ann. 21 (1883), p. 132] et 
C. Stephanos [Thèse, Paris 1884] ou établis par H. Schubert lui-même [Mitt. 
math. Ges. Hamburg 1 (1881/9), éd. Leipzig 1889, p. 134 [1886]]. 
H. Schubert [Math. Ann. 38 (1891), p. 598] a d’ailleurs continué ensuite ces 
recherches. 
198) Atti R. Accad. Lincei Mendie. (4) 5 II (1889), p. 71. 
199) Reale Ist. Lombarde, Rendic. (2) 26 (1893), p. 534. 
200) Id. (2) 27 (1894), p. 214. 
201) Id. (2) 28 (1895), p. 441. 
202) Atti Accad. Torino 36 (1900/1), p. 459. 
203) Memorie Accad. Torino (2) 52 (1903), p. 171.