314 H. G. Zeuthen. III 4. Géométrie énumérative. M. Pieri. 
la caractéristique v dans certains cas où l’autre caractéristique fi était 
connue d’avance. Peu après, H. G. Zeuthen™) allait fonder sur ces 
deux formules une méthode générale pour déterminer simultanément les 
deux caractéristiques ¡a et v. En effet le dénombrement des coniques 
exprimées par ¿a et v est une question moins simple en général que 
la recherche directe des nombres X et jt; car cette dernière recherche 
se ramène à une détermination de droites et de points. H. G. Zeuthen 
appliqua sa méthode à la détermination des systèmes de coniques 
assujetties à toutes sortes de contact (même multiples et d’ordre 
supérieur) avec des courbes données, douées de singularités plucké- 
riennes. 
D’ailleurs, comme H. G. Zeuthen™) l’a fait observer récemment, 
les cas de dégénérescence peuvent être utiles pour la détermination 
des coefficients a et /3 de M. Chasles [n° 21]. Le nombre a indique 
combien, parmi les coniques satisfaisant à la nouvelle condition ad 
jointe aux conditions données, il y en a qui sont décomposées en une 
droite donnée et une droite passant par un point déterminé de cette 
dernière; la définition du nombre /3 se déduit de celle de a par appli 
cation du principe de dualité. 
Certaines questions analogues relatives aux coniques dans l’espace, 
par exemple la recherche due à M. Bottasse™) des coniques plusieurs 
fois tangentes à des surfaces données, peuvent se rattacher à la déter 
mination des coniques dans un plan. Cependant elles ont été plus 
souvent rattachées à la détermination des quadriques dont il est parlé 
au n° 38. * * * 
point de départ les expressions données par J. Steiner du nombre des coniques 
passant par trois points arbitraires et bitangentes, ou encore osculatrices, à une 
courbe quelconque donnée [n° 4, note 17], et il détermine ainsi le nombre de ces 
coniques dans le cas où les points donnés sont remplacés, en tout ou en partie, 
par des tangentes données aux coniques cherchées. 
210) Nyt Bidrag til Laeren om Systemer af Keglesnit, der ere underkastede 
4 Betingelser, Diss. Copenhague 1865; trad. Nouv. Ann. math. (2) 5 (1866), p. 241/62, 
289/97, 385/98, 433/43, 481/92, 529/40. 
La méthode de M. Chasles [no 21] présuppose que les conditions sont 
indépendantes les unes des autres, tandis que les conditions qui, dans celle de 
H. G. Zeuthen, définissent un système ne sont pas soumises à cette restriction. 
Seulement la méthode de H. G. Zeuthen ne conduit pas à la détermination des 
nombres de coniques satisfaisant à des conditions quintuples; A. Cayley [n° 9, 
note 60] a toutefois déterminé ces nombres d’après les résultats obtenus par 
H. G. Zeuthen. 
211) Lehrbuch x ), n os 168 et 171. 
212) Ann. mat. pura appl. (3) 8 (1903), p. 233.