28. Systèmes de surfaces et d’hypersurfaces du second degré. 315 
28, Systèmes de surfaces et d’hypersurfaces du second degré. 
Immédiatement après, la même méthode fut appliquée par H. G. 
Zeuthen 213 ) à la recherche des caractéristiques [i, v, q inhérentes à un 
système élémentaire de surfaces du second ordre. Chaque système oo 1 de 
telles surfaces contient un certain nombre q) de cônes, x de plans doubles 
limités par une conique, ÿ de surfaces décomposées chacune en deux 
plans ou en deux points sur l’intersection de ces plans (suivant qu’on 
envisage la quadrique comme lieu de points, ou comme enveloppe de 
plans). Ces trois nombres sont déterminés par les relations 
(p = 2 q—v, % = 2¡x — v, ip = 2v — [i — q. 
H. G. Zeuthen emploie ces formules pour en déduire, réciproquement, les 
caractéristiques q,v, q du système; les nombres cp, % et ip se rapportent, 
en effet, à des figures plus simples. Le même procédé fut déve 
loppé ensuite, et d’une manière plus complète, par H. Schubert 21 *), qui y 
fit rentrer la détermination des caractéristiques inhérentes aux systèmes 
de coniques dans l’espace au moyen de leurs dégénérescences. 
H. G.Zeuthen 215 216 217 ') et H.Schubert 215 ) ont encore appliqué cette méthode 
à d’autres systèmes de surfaces du second degré. H. Schubert 211 ) l’étend 
213) Overs. Selsk. Forhandl. Kôbenhavn (Bull. Acad. Copenhague) 1866, p. 91. 
Les résultats avaient été remis auparavant sous pli fermé à l’Académie, mais 
n’avaient pas été publiés parce que H. G. Zeuthen, ayant utilisé pour ses recherches 
les résultats publiés par M. Chasles en 1865, désirait ne pas devancer la publi 
cation définitive de M. Chasles qui ne parut qu’en 1866 [n° 22, note 184]. 
214) J. reine angew. Math. 71 (1870), p. 366. 
En profitant de ce que, à cause de l’identité de certaines caractéristiques 
relatives à des systèmes différents, le nombre des égalités surpasse en général 
celui des caractéristiques cherchées, H. Schubert (qui, à cette époque, ne con 
naissait pas encore les recherches de H. G. Zeuthen) a pu limiter ses déterminations 
directes aux cas où cp, % et ip ont des valeurs assez faciles à déterminer. 
215) Nouv. Ann. math, (2) 7 (1868), p. 345; Ann. mat. pura appl. (2) 4 (1870/1), 
p. 331. Les premières de ces recherches furent complétées par B. Sturm [Math. 
Ann. 7 (1874), p. 578]. Suivant l’exemple de H. G. Zeuthen [n° 27, note 210] qui 
venait d’utiliser les caractéristiques des systèmes de coniques pour Pétude de la 
développée et de la catacaustique d’une courbe plane, B. Sturm applique les 
caractéristiques des systèmes de quadriques dans ses recherches sur les droites 
normales à une surface. 
216) Math. Ann. 10 (1876), p. 318. Pour la détermination des modules [n° 2B] 
dans le cas de plusieurs conditions élémentaires juxtaposées, par ex. des con 
ditions exprimant qu’une quadrique contient une droite donnée. 
Dans cet exemple, A. Hurwitz [Math. Ann. 10 (1876), p. 354] calcule le module 
en imposant le passage par trois points de la droite. Voir aussi un mémoire 
antérieur de H. Schubert [Z. Math. Phys. 15 (1870), p. 126]. 
217) Mitt. math. Ges. Hamburg 1 (1881/9), éd. Leipzig 1889, p. 290 [1889]; 
2 (1890), éd. Leipzig 1891 [Festschrift], p. 172.