318 JE. G. Zeuthen. III 4. Géométrie énumérative. M. Pieri. 
deux points dont chacun se trouve sur la droite correspondant à 
l’autre, ou par deux droites conjuguées; X désigne le nombre de fois 
qu’à une même droite correspondent dans un même couple tous les 
points d’une droite; et % le nombre de fois qu’à un même point 
correspondent, dans un même couple, toutes les droites d’un faisceau. 
Si les deux figures réciproques engendrent, dans leur ensemble, un 
système polaire, on rentre dans le cas du n° 27. Le dénombrement 
des dégénérescences représentées par X et n a ainsi permis à T. A. 
Hirst de calculer les indices et v du système. De cette façon, il 
trouve le nombre des corrélations qui admettent un nombre suffisant 
d’éléments donnés (paires de points ou de droites) comme éléments 
conjugués. 
Au début de ses recherches, T. A. Hirst déterminait les nombres 
X et 7t d’une façon moins systématique; mais il s’est ensuite 226 ) servi, 
pour cette détermination, d’un procédé analogue au précédent, en uti 
lisant une dégénérescence d’ordre plus élevé qui se rencontre en général 
dans tous les systèmes dont les éléments sont déjà affectés des dé 
générescences dont les nombres sont représentés par X ou %. 
T. A. Hirst appliqua de même les relations du n° 28 à la déter 
mination de figures réciproques dans l’espace. Cependant en 1874 il 
n’avait établi que les formules 227 ); sa recherche complète, dans laquelle 
les trois dégénérescences du premier ordre sont déterminées au moyen 
de dégénérescences d’ordre supérieur, ne parut qu’en 1890 228 ) alors que 
P. Visalli 229 230 231 ) avait déjà atteint le même but, au moins en partie. 
Pour les figures réciproques à deux dimensions R.Sturm 23 °) avait 
étendu la méthode jusqu’à l’appliquer aux gerbes de sommet inconnu, 
dont un nombre suffisant de rayons et de plans correspondants sont 
assujettis à passer par des points et des droites donnés arbitrairement 
dans l’espace. Le calcul par le dénombrement des dégénérescences d’un 
système a été de même appliqué par P. Sturm 2S1 ) au problème de la pro 
jectivité dans l’espace, problème qu’il avait déjà étudié auparavant; 
226) Proc. London math. Soc. (1) 8 (1876/7), p. 262; Atti Accad. Lincei 
Transunti (3) 1 (1876/7), p. 86; Ann. mat. pura appi. (2) 8 (1877), p. 287. 
227) Proc. London math. Soc. (1) 6 (1874/5), p. 7. 
228) Id. (1) 21 (1889/90), p. 92. Dès 1877, il en possédait cependant les ré 
sultats numériques, la publication de B. Sturm is0 ) lui ayant fourni le moyen 
d’énumérer les dégénérescences dont ils dépendent. 
229) Atti R. Accad. Lincei, Memorie mat. (4) 3 (1886), p. 579; Atti R. Accad. 
Lincei, Bendic. (4) 31 (1886/7), p. 118. 
230) Math. Ann. 12 (1877), p. 254; voir aussi id. 19 (1882), p. 461. 
231) Id. 15 (1879), p. 407.