31. Systèmes du second degré. 319 
H. Schubert 232 ) compléta ces recherches par la considération des cas non 
encore examinés des formes projectives à une ou deux dimensions. Il en fit 
aussi des applications aux espaces réciproques dimensions 233 ) en cher 
chant, par exemple, le nombre des couples formés par deux [p\ ^assujettis 
à vérifier respectivement deux conditions fondamentales [n° 26] et à 
couper en même temps un certain nombre de couples d’espaces à n — 1 
dimensions suivant des |j? — 1] conjugués dans une même corrélation 
liant entre eux les deux [p].* Il les applique aussi 234 ) aux corres 
pondances (1, 2) entre deux formes fondamentales de rang un (oo 1 ) 
et 235 ) au problème de la projectivité étendu aux correspondances tri- 
linéaires. C’est en partant des résultats de ce dernier problème qu’on 
détermine une surface cubique à l’aide de 19 conditions. 
Enfin c’est encore le dénombrement des formes dégénérées qui a 
servi d’instrument à H. Schubert 236 ) pour la recherche de certains 
nombres relatifs à des congruences linéaires de droites. 
Problème des caractéristiques. 
31. Systèmes du second degré. M. Chasles pensait que le nombre 
des coniques d’un système oo 1 , qui satisfont à une condition indé 
pendante du système, était toujours susceptible d’être exprimé par l’ex 
pression 
cep + /3v, 
où n et v sont les caractéristiques du système, tandis que les nombres 
a et /3 ne tiennent qu’à la condition donnée [n° 21]. Par suite, au 
point de vue de la géométrie énumérative, les nombres n et v servi- 
232) Abzâhlende Geom. 47 ), p. 194/227. H. Schubert [Mitt. mat. Ges. Hamburg- 
3 (1891/1900), éd. Leipzig 1900, p. 12 [1891]] a résumé plus tard en des formules 
générales ses propres résultats avec d’autres dûs à T. A. Hirst et à B. Sturm. 
233) Mitt, matb. Ges. Hamburg 3 (1891/1900), éd. Leipzig 1900, p. 20 [1891]; 
Jabresb. deutscb. Math.-Ver. 4 (1894/5), éd. 1897, p. 158. 
On doit à G. Z. Giambélli [Memorie Ist. Lombarde (3) 10 (1900/4), p. 155 
[1903]] la démonstration effective ainsi qu’une généralisation remarquable de la 
formule de H. Schubert. Il a tiré parti, à cet effet, des recherches de G. del Prete 
[Reale Ist. Lombarde, Rendic. (2) 30 (1897), p. 400, 464] sur les correspondances 
projectives dégénérées. 
234) J. x-eine angew. Math. 88 (1880), p. 311. 
235) Progr. des Johanneum in Hamburg 1882. 
236) Math. Ann. 10 (1876), p. 83; Abziihlende Geom. 47 ), p. 188. Une partie 
de ses résultats a été démontrée par B. Sturm [Liniengeometrie 82 ) 1, p. 125] d’après 
la détermination des figures corrélatives signalée par T. A. Hirst. V. Martinetti 
[Rivista mat. 3 (1893), p. 108] traite la même question par le principe de la con 
servation du nombre, E. Weis [Diss. Breslau 1907] par des combinaisons synthé 
tiques de théorèmes connus [n° 4].