320 H. G. Zeuthen. III 4. Géométrie énumérative. M. Pieri. 
raient à caractériser parfaitement le système, tandis que cc et (5 carac 
térisaient la condition (d’où le nom de caractéristiques); de sorte que, 
pour pouvoir résoudre tous les problèmes se ramenant à une certaine 
condition pour les oo 1 coniques d’un système ne dépendant pas de 
cette condition, il suffirait de rechercher les nombres correspondant 
aux divers systèmes et aux diverses conditions. On pourrait le faire 
aisément en combinant chaque système avec deux conditions ou chaque 
condition avec deux systèmes particulièrement simples. 
Le problème théorique soulevé par l’idée de M. Chasles venait ainsi 
d’acquérir une grande importance pratique. Plusieurs géomètres 237 ) 
cherchèrent à établir cette opinion sur des bases solides. 
Mais la démonstration de cet énoncé, de même que celle de l’énoncé 
plus restreint de J. Fh. E. de Fauque de Jonquières, qui donnait déjà à 
l’expression afi une certaine importance [n°20], ne pouvait être obtenue 
qu’au moyen d’une formulation convenablement étendue de chaque 
problème 238 239 ) et telle que les solutions cherchées se présentassent dans 
certains cas mêlées avec des solutions étrangères qui en altèrent le 
nombre. Ces solutions étrangères peuvent même se présenter en nombre 
infini [cf. n° 11, et dans ce cas l’expression ap ou l’expression «¡a + /3v, 
ne représentant que le degré d’une équation identique, perd tout sens 
énumératif. 
Pour s’assurer de l’exactitude de cette remarque, il suffisait d’un 
seul exemple où l'énoncé de M. Chasles ne fût pas confirmé. De tels 
exemples furent trouvés par G. H. Halphen 289 ) qui fit voir en même 
temps pourquoi, dans ces sortes de cas, le problème n’était plus sus 
ceptible d’une formulation conduisant à l’expression ccp -f jdn du nombre 
de ses solutions. En effet ces formulations n’envisageaient que les dé 
générescences dont le nombre est indiqué par X ou n [n° 27]; de sorte 
qu’une droite double à deux sommets confondus ne peut y apparaître 
qu’autant qu’elle rentre dans l’une ou l’autre de ces deux dégénérescences. 
Or l’influence due à la nouvelle dégénérescence envisagée par 
G. H. Halphen ne s’arrête pas là: c’est ce que montrent déjà ses premiers 
237) A. Clebsch, Math. Ann. 6 (1873), p. 1; G. H. Halphen, Bull. Soc. math. 
France 1 (1872/3), p. 130; F. Lindemann dans A. Clebsch, Geom. 134 ) 1, p. 399; 
H. Schubert et A. Hurwitz, ÎSiachr. Ges. Gôtt. 1876, p. 507 ; E. Study, Math. Ann. 27 
(1886), p. 58; 40 (1892), p. 551. Ce dernier donne, dans le premier de ses deux 
mémoires, une définition algébrique des systèmes en question qui exclut effective 
ment les cas d’exception signalés par G. H. Halphen. 
238) Pour être exact en général, le théorème conjecturé par M. Chasles 
devrait être applicable à chaque problème de cette catégorie pouvant se résoudre 
au moyen d’une équation irréductible, et fournir le degré de cette équation [n°l]. 
239) C. R. Acad. sc. Paris 83 (1876), p, 537, 866. .