24 III 1. F. Enrichies. Questions d’ordre élémentaire. 
extérieurs à (d), n’a aucun point commun avec (d) ; au contraire, le 
segment joignant deux points qui ne se trouvent pas du même côté 
de (d) a un point commun avec (d). 
On peut introduire les mêmes attributs en se plaçant au point 
de vue génétique. Pour la géométrie euclidienne on y parvient très 
simplement en postulant comme il suit: 
1) le postulat des parallèles d’Euclide; 
2) si deux paires de droites (a, a), (b, b') issues d’un même point 0 
sont coupées par une transversale (d) [qui est supposée n’être pa 
rallèle à aucune des quatre droites et ne pas passer par 0] en deux 
paires de points {A, A'), {B, B') tels que A et A' soient séparés par 
l’un des deux points B ou B' et que B et B soient séparés par l’un 
des deux points A ou A', il en est nécessairement de même pour 
toute transversale qui ne passe pas par 0 et n’est parallèle à aucune 
des quatre droites envisagées (cf. n os 24 à 28). 
Ce postulat de M. Pasch conduit directement à la définition des 
surfaces planes dans lesquelles deux droites qui se coupent partagent 
le plan et à la définition des angles formés par ces deux droites. 
La question de la définition de l’angle a soulevé autrefois bien 
des discussions, 
Euclide % ) désigne l’angle comme Y inclinaison de deux droites se 
coupant, ce qui est une tautologie manifeste 95 96 ). D’autres ont considéré 
l’angle comme la „mesure d’une rotation“. L’essentiel dans toutes les 
définitions que l’on donnait consistait d’ailleurs à affirmer l’existence 
d’une certaine invariabilité, concernant une paire de droites qui se 
coupent, par rapport au groupe des mouvements. Le concept d’un 
tel invariant (la grandeur de l’angle) suffit évidemment pour constituer 
la théorie élémentaire des congruences des figures. 
Mais l’angle joue dans d’autres questions un rôle différent. On 
le voit, en particulier, quand il s’agit de certains rapports de situation 
tels que la notion de „point situé à l’intérieur d’un angle“, par 
95) Elementa, livre 1, déf. 7; Opéra, éd. J. L. Heiberg 1, Leipzig 1883, p. 2. 
96) + Déjà dans l’antiquité des efforts avaient été tentés pour obtenir une 
meilleure définition de l’angle, mais presque tous ces efforts n’ont abouti à au 
cun résultat. D’après Apollonius un angle est la contraction ou le resserrement 
[avvccyayrj] d’une surface ou d’un solide autour d’un point sous forme de ligne 
brisée ou de surface ayant une pointe [en latin du moyen âge: angulus est 
coniunctio superficiei aut corporis ad unum punctum, que comprehenditur a linea 
curva aut superficie acuta] définition qui n’est guère préférable à celle d'Euclide. 
D’autres définitions presque aussi obscures ont été données par Plutarque et 
Carpus [cf. Procli Diadochi 2 ), p. 121/8; Anaritii In libres Euclidis commentarii 74 ) r 
p. 11/4] (Note de G. Enestrom).*