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H. G. Zeuthen. III 4. Géométrie énumérative. M. Pieri. 
à introduire dans l’expression 
ap -f + yç 
[n° 22] du nombre des quadriques d’un système oo 1 qui satisfont à 
une condition donnée, toutes les fois que parmi ces surfaces il y a 
des formes singulières qui ne rentrent pas dans les formes générales 
envisagées au n° 28. P. del Bezzo 244 ) et G. Burali-Forti ui ) ont étendu 
ces recherches aux systèmes à plusieurs dimensions. 
32. Autres caractéristiques. Lorsque les figures d’une certaine 
classe dépendent de r -f s conditions, il est utile, lorsque cela est 
possible [n° 31], de représenter leur nombre par une expression de 
la forme 
(l) N=Aa + Bb + ••• + «, 
où les nombres A, P, . . ., K relèvent exclusivement des r conditions, 
tandis que les a, b, . . ., h relèvent exclusivement des s autres con 
ditions 244 245 246 ). Les nombres A, B, . . ., K et a, b, . . ., Je caractérisent 
respectivement les deux systèmes oo* et oo r déterminés respectivement 
par les r et les s conditions. Une telle représentation a effectivement 
lieu, par ex., dans le théorème de E. Bézout 247 ) et dans celui de G. H. 
Halphen sur les droites communes à deux congruences [n° 16, note 120]; 
la formule ayant alors un seul terme, ou deux termes, respectivement. 
H. Schubert 248 ) a établi des formules analogues pour déterminer, dans 
un espace à n dimensions, le nombre des espaces à h dimensions 
vérifiant à la fois deux conditions fondamentales d’un poids convenable. 
Dans cet ordre d’idées rentrent les recherches de G. H Halphen 249 ) 
244) Rendic. Accad. Napoli (1) 23 (1884), p. 61. 
245) Giorn. mat. (1) 24 (1886), p. 309, 334. 
246) Lorsqu’on a la certitude que les deux groupes de conditions sont 
propres à être caractérisés de cette façon, au moyen d’un nombre donné d’indices, 
il sera avantageux, pour établir la formule en question, d’employer la méthode 
fonctionnelle de A. Cayïey [n° 9]. 
247) Les applications indirectes du théorème de Bézout dont il a été ques 
tion aux n os 5 et 6 doivent être regardées comme autant de cas particuliers de 
l’usage que l’on pourrait faire en général des théorèmes concernant les caracté 
ristiques [n° 81]. 
248) Mitt. math. Ges. Hamburg 1 (1881/9), éd. Leipzig 1889, p. 134 [1886]. 
Cf. n° 8, note 50. Voir les travaux cités au n° 26 et H. Schubert, Math. Ann. 38 
(1891), p. 598. 
249) J. math, pures appl. (3) 2 (1876), p. 257; Étude sur les points singu 
liers des courbes algébriques planes, Paris 1883, p. 60 [publié comme appendice 
à la trad, de G. Salmon par O. Chemin, Géométrie analytique des courbes planes, 
(l re éd.) Paris 1883].