326 H. G. Zeuthen. III 4. Géométrie énumérative. M. Pieri. 
s’occupe du degré par rapport aux diverses variables. D. Hilbert 263 ) 
utilise, pour les dénombrements relatifs à ce sujet, sa fonction caracté 
ristique [I 10, 68] liée à la même théorie algébrique 264 ). 
Il est essentiel, pour continuer le contact des méthodes énumé- 
ratives avec l’algèbre, de posséder toujours des définitions exactes des 
formes sur lesquelles doivent porter les recherches énumératives à 
autant de dimensions que l’on veut. De telles définitions ont été 
données par C. Segre 265 ) en toute généralité dans le chapitre pré 
liminaire de son „Introduzione alla geometria sopra un ente alge- 
263) Math. Ann. 36 (1890), p. 520/1. A la fin d’un mémoire sur les mo 
dules et les idéaux, JE. Lasker [Math. Ann. 60 (1905), p. 20] signale en outre les 
applications énumératives suivantes de ses résultats algébriques: 
1°) une interprétation du calcul des conditions de H. Schubert avec de 
nouveaux fondements pour ce calcul [cf. n°" 23 à 26 de l’article actuel]; 
2°) la détermination des ordres inhérents aux systèmes d’équations Salmon- 
Boberts; 
3°) l’établissement des formules de Plücker et leur extension à l’espace à 
n dimensions. 
A. Brill [Yerhandl. des 3. internat. Math.-Kongresses Heidelberg 1904, 
publ. par A. Krazer, Leipzig 1905, p. 275] a donné un aperçu général des postu 
lats algébriques inhérents aux méthodes énumératives; cf. n° 9, note 71. Voir 
aussi I 10, 60. 
264) D’ailleurs une argumentation analogue à celle du principe de perma 
nence du nombre intervient dans la théorie des fonctions elle-même, et la fonction 
caractéristique de D. Hilbert permet d’effectuer [II 14], dans la théorie des 
fonctions thêta, d’une manière assez simple la détermination de certains nombres. 
H. Poincaré [Bull. Soc. math. France 11 (1882/3), p. 129; Amer. J. math. 8 
(1886), p, 289; J. math, pures appl. (5) 1 (1895), p. 219], et après lui H. Laurent, 
E. Picard et plusieurs autres géomètres, ont adopté un mode de raisonnement 
qui revient à ceci: On sait que le nombre de solutions d’un système analytique 
d’équations peut être représenté par une intégrale définie à l’aide d’une formule 
connue due à L. Kronecker; pourvu que certaines hypothèses soient vérifiées, 
cette intégrale est une fonction continue des paramètres; comme elle représente 
un nombre entier elle ne saurait donc changer quand on fait varier ces para 
mètres d’une façon continue; on peut donc, pour obtenir le nombre de solutions 
cherché, donner à ces paramètres des valeurs particulières et ensuite dénombrer. 
C’est ainsi que H. Poincaré ne dénombre effectivement dans le cas de certaines 
fonctions thêta que quand ces fonctions se décomposent en fonctions thêta-ellip_ 
tiques. 
W. Wirtinger [üntersuchungen über Thetafunctionen, Leipzig 1895, § 15 
16] a démontré ces théorèmes, ainsi que d’autres plus généraux, en faisant usage 
de la fonction caractéristique de D. Hilbert, et aussi [Monatsh. Math. Phys. 6 
(1895), p. 69; 7 (1896), p. 1] en appliquant une méthode spéciale au calcul d’une 
certaine intégrale multiple que l’on obtient en faisant usage de l’intégrale de 
Cauchy. 
265) Ann. mat. pura appl. (2) 22 (1894), p. 41/142.