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10. Segment; angle; le concept „situé entre“. 
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exemple. Au point de vue de ces relations, on a besoin d’un concept 
de l’angle qui soit indépendant du concept de la congruence des angles. 
C’est pourquoi Louis Bertrand 97 ) a défini l’angle comme partie 
d’un plan. D’une façon précise: l’angle de deux droites est la partie 
du plan qui est commune aux deux demi-plans limités par ces deux 
droites; ou encore: l’angle de deux droites est l’interférence de ces 
deux demi-plans. Les deux droites sont les côtés de l’angle. 
G. Veronese 98 99 100 ) remarque que la figure ainsi définie, qu’il appelle 
„champ angulaire" ou „section angulaire", ne correspond pas à la 
conception habituelle de l’angle; on considère en général l’augle comme 
une figure n’ayant qu’une dimension, appartenant non à un plan mais 
à un faisceau de droites. C’est pourquoi il propose plutôt, en 
s’appuyant sur le principe de dualité qui domine toute la géométrie 
projective, de définir l’angle de deux demi-droites a, h comme l’ensemble 
des demi-droites situées entre les deux demi-droites a et h. 
On peut développer tous les rapports de situation des figures 
polygonales quelconques en se basant sur le postulat de M. Pasch. 
On peut, en particulier, définir ainsi la surface d’un polygone. 
G. Veronese") parvient à ce même résultat d’une façon récurrente, 
en considérant d’abord la surface du triangle comme la partie du plan 
qui est commune à deux angles, puis en considérant la surface du 
polygone convexe comme une somme [une juxtaposition] de surfaces 
de triangles. Si l’on rattache ces développements à la construction 
génétique du plan, ils entrent en rapport avec le concept des parallèles 
(cf. n° 14). 
F. Emiques et ü. Amaldi 10 °) définissent la surface du polygone 
convexe comme l’interférence des demi-plans qui contiennent les sommets 
et sont limités par les côtés du polygone. Ils en déduisent les attri 
buts élémentaires de situation des polygones en appliquant directement 
le postulat de M. Pasch. 
Les deux parties dans lesquelles un plan est divisé par un po 
lygone convexe peuvent de même être définies soit par juxtaposition, 
soit par interférence de demi-plans et l’on en déduit alors cette pro 
priété fondamentale qu’un segment, ne passant pas par un sommet du 
97) Développement nouveau de la partie élémentaire des mathématiques 2, 
Genève 1778, p. 6. 
98) Fondamenti* 6 ), p. 619; trad. A. Schepp, Grundzüge 26 ), p. 307 et suiv., 
et p. 695; Elementi 28 ), (2 e éd.) p. 35. 
99) Fondamenti 26 ), p. 321 et suiv.; trad. A. Schepp, Grundzüge 26 ), p. 346 
et suiv.; Elementi 26 ), (2 e éd.) p. 105; (3 e éd.) p. 113. 
100) Elementi 28 ), (l re éd.) p. 98.