Ili 5. LA THÉORIE DES GROUPES CONTINUS 
ET LA GÉOMÉTRIE. 
Exposé, d’après l’article allemand de G. F AN O (turin) 
par E. CAUTAN (paris). 
I. Transformations. Groupes de transformations et géométries 
correspondantes. 
1. Transformations. On trouve déjà des traces de transformations 
géométriques particulières chez les géomètres grecs, en particulier dans 
Apollonius*). Souvent aussi on s’est servi de changements de variables, 
c’est-à-dire de transformations, pour résoudre des équations algébriques 
et intégrer des équations différentielles. Mais ce n’est que du début 
du 19 ième siècle que date la notion moderne de transformation géomé 
trique: d’une part l’étude systématique des projections, sous l’impul 
sion des travaux de J. V. Poncelet*), conduisit les géomètres à la con 
sidération des transformations projectives 3 ) [cf. III 3 ]; d’autre part les 
extensions successives de la notion de coordonnée habituèrent les géo 
mètres à ne pas se borner à regarder les transformations usitées en 
Analyse comme de simples changements de variables, mais à les inter 
préter par des correspondances entre des figures géométriques. On par 
vint ainsi à la notion la plus générale de correspondance entre deux 
figures géométriques, ainsi qu’à celle de la représentation de l’une de 
ces figures sur l’autre, et à celle de l'identité des deux figures à l’égard 
des transformations dont il s’agit. 
Une transformation est définie analytiquement par un système 
1) Cf. G. Loria, Le scienze esatte nell’ antica Grecia [Memorie Accad. 
Modena (2) 11 (1895), en partie, p. 231 et suiv.]. 
2) ^Traité des propriétés projectives des figures, (l r * éd.) Paris 1822; (2 e éd.) 
1, Paris 1865.* 
3) Cf. M. Chasles, Aperçu historique sur l’origine et le développement des 
méthodes en géométrie, (l re éd.): Mém. couronnés savants étrangers Acad. Bruxelles 
in 4°, 11 (1837), p. 189, 253; (2* éd.) Paris 1875, p. 189, 253; (3 e éd.) Paris 1889, 
p. 189, 253 (chap. 5 et 6).