B, Point de vue de Klein: la géométrie regardée comme l’étude d’un groupe. 341 
étrie. JE. Cartan. 
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groupe invariant du groupe fondamental reproduisant tous les élé 
ments de (C). 
Il n’est pas même nécessaire que, comme nous l’avons supposé 
jusqu’à présent et comme il arrive en géométrie élémentaire, les 
points de l’espace forment un corps; il existe des géométries dans les 
quelles il n’en est rien, par exemple la géométrie projective étendue 
[n° 5], la géométrie des sphères orientées [n° 13], la géométrie de La- 
guerre [n° 14], les géométries de contact [n° 26], etc. Dans ces géo 
métries le groupe fondamental est défini pour un certain corps d’élé 
ments générateurs, nécessairement différents des points. 
*Les éléments générateurs pourraient aussi dépendre de fonctions 
arbitraires; mais alors le groupe fondamental serait, analytiquement, 
un groupe fonctionnel; nous laisserons ce cas de côté.* 
Lorsqu’on choisit différents corps (C) comme éléments généra 
teurs de l’espace, le groupe fondamental prend aussi des formes ana 
lytiques différentes; mais il est toujours représenté analytiquement 
par des équations qui expriment, en fonction des coordonnées d’un élé 
ment du corps (C), les coordonnées de l’élément transformé. Les dif 
férents groupes fondamentaux sont isomorphes. Il est bien évident que, 
quel que soit celui des groupes qu’on mette à la base de la géométrie, 
cette géométrie reste essentiellement la même. *Si le groupe fonda 
mental primitif est un groupe infini, au sens de S. Lie, les éléments 
du corps (O) seront transformés par un groupe infini, mais qui ne 
sera pas nécessairement un groupe au sens de S. Lie; pour qu’il en 
soit ainsi, il faudra que le corps (C) satisfasse à certaines conditions. 
Il conviendra de choisir le corps des éléments générateurs de l’espace 
de manière que ces conditions soient remplies.* 
Il résulte des considérations précédentes que deux géométries 
pourront être regardées comme équivalentes toutes les fois qu’on pourra 
choisir les corps des éléments générateurs dans les deux géométries 
de manière que ces corps dépendent du même nombre de paramètres et 
que les deux groupes fondamentaux correspondants soient semblables. 
Nous verrons plus loin à quelles conditions il en est ainsi [n° 36]. 
Dans deux géométries équivalentes on peut établir une correspon 
dance univoque entre les notions, les postulats et les définitions de l’une 
et les notions, postulats et définitions de l’autre, de manière qu’à tout 
théorème de l’une des géométries corresponde un théorème de l’autre et 
réciproquement. Les énoncés des théorèmes diffèrent quant aux termes 
employés; mais la structure intime des deux géométries est la même. 
Lorsque dans une géométrie on a fait choix d’un corps d’élé 
ments générateurs, ou plus brièvement d’éléments de l’espace, et, pour