344 G. Fano. Ill 5. La théorie des groupes continus et la géométrie. E. Cartan. 
*La géométrie euclidienne est celle dont le groupe fondamental est 
formé des déplacements et des retournements. Dans la géométrie élé 
mentaire tous les carrés étaient équivalents, tous les cercles aussi. Il 
n’en est plus ainsi en géométrie euclidienne, les distances devenant des 
invariants absolus. Le groupe formé des déplacements et des retourne 
ments est invariant dans le groupe fondamental de la géométrie élémentaire* 
5. Groupe projectif général. Géométrie projective. Le groupe 
projectif général de l’espace E n à n dimensions est le groupe des trans 
formations ponctuelles qui jouissent de la propriété que tous les points 
d’une variété plane E n _ x sont transformés dans les points d’une autre 
variété plane E n _ x . En coordonnées projectives homogènes, chaque 
transformation projective est représentée analytiquement par une sub 
stitution linéaire et homogène. 
On donne le nom de propriétés projectives aux propriétés des 
figures qui sont invariantes vis-à-vis du groupe projectif; elles sont 
étudiées en géométrie projective qui peut être construite en partant 
des seules notions de variété plane (des différentes dimensions), de 
Tincidence de deux variétés planes, de l’ordre de disposition des points 
d’une droite (variété plane à une dimension) 15 ). Les différentes pro 
priétés projectives résultent de combinaisons logiques de ces notions. 
La recherche des invariants projectifs constitue une théorie mathéma 
tique désignée souvent sous les noms d’Algèbre moderne, Algèbre 
des transformations linéaires, Théorie des formes algébriques [I 11]. 
Dans l’espace E n le groupe projectif général contient n(n -f 2) 
paramètres. Si on ajoute aux transformations projectives proprement 
dites (homographiques) les transformations dualistiques (dépendant 
également de n{n -f- 2) paramètres) qui font correspondre aux points 
les variétés planes E n _ x et réciproquement, on obtient un groupe 
mixte, qui est le groupe fondamental de la Géométrie projective 
étendue. 
Lorsqu’on prend pour groupe fondamental le groupe formé des 
transformations homographiques et dualistiques, les points ne forment 
plus un corps; il faut alors choisir d’autres éléments générateurs de 
l’espace. Dans l’espace E z un corps d’éléments générateurs est formé 
par l’ensemble des droites; avec ce choix d’éléments générateurs, la 
géométrie projective prend le nom de Géométrie réglée projective [cf. n° 10]. 
De même, dans chaque espace E n à un nombre impair n de dimen- 
15) F. Enriques, Lezioni di geometria proiettiva, Bologne 1898; (2® ed.) 
Bologne 1904; (3® ed.) Bologne 1909; trad. H. Fleischer, Vorlesungen über projek 
tive Geometrie, Leipzig 1903; voir en partic. p. 16 (§ 5 et 6).