5. Groupe projectif général. Géométrie projective. 
sions, on pourrait prendre comme éléments générateurs les variétés pla 
nes E n _ v On peut aussi, pour une valeur quelconque de n, choisir 
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comme élément générateur l’ensemble d'un point et d’une variété plane 
E n _i 16 ), en particulier l’ensemble d’un point et d’une variété E n _ 1 
contenant ce point ; on obtient ainsi dans le plan l’élément de courbe, 
dans l’espace E 3 Vêlement de surface, etc. 
Dans la géométrie projective proprement dite, aussi bien que 
dans la géométrie projective étendue, on peut soit exclure soit ad 
mettre les éléments imaginaires. Dans le premier cas on obtient la 
géométrie projective réelle [III 8] dans laquelle on regarde comme 
essentiellement distinctes une involution hyperbolique et une involu- 
tion elliptique sur une droite, et de même une surface du second 
ordre réglée et une surface non réglée. Dans le second cas on obtient 
la géométrie projective complexe dans laquelle toute involution a 
deux points doubles et toutes les involutions, aussi bien que toutes 
les surfaces du second ordre qui ne sont pas des cônes, sont équi 
valentes (c’est-à-dire sont transformables l’une dans l’autre par une 
transformation projective convenablement choisie). C’est K. G. Chr. 
von Staudt 1T ) qui a fondé cette géométrie projective complexe. 
Le groupe projectif admet encore une autre sorte d’extension par 
l’introduction des transformations antiprojectives; on obtient une trans 
formation antiprojective en effectuant d’abord une transformation pro 
jective et en remplaçant ensuite l’élément transformé par son com 
plexe conjugué 18 ). La nécessité de l’introduction de ces nouvelles 
transformations ne s’est pas fait sentir tant qu’on s’est borné à con 
sidérer en géométrie projective complexe des figures définies par une 
16) *N. J. Lennes [Aunáis of math. (2) 13 (1911/2), p. 11] a établi un 
système de postulats permettant de fonder la géométrie projective lorsqu’on 
prend pour élément générateur l’ensemble d’un point et d’un pian.* 
17) Beiträge zur Geometrie der Lage, fase. 1, Nuremberg 1856; fase. 2, 
Nuremberg 1857; fase. 3, Nuremberg 1860. 
18) Le fait que ces transformations ne se ramènent pas à des transformations 
projectives avait déjà été remarqué par K. G. Chr. von Staudt [Beiträge 17 ), fase. 2, 
p. 147]. Pour n = 1, c’est-à-dire sur la droite complexe, ces transformations 
antiprojectives ne sont pas autre chose que les inversions qui depuis B. Riemann 
ont joué un rôle si important dans la théorie des fonctions d’une variable com 
plexe [JT 1 . Klein, ÜberRiemanns Theorie der algebraischen Funktionen und ihrer Inte 
grale, Leipzig 1882; en partie., p. 70 et suiv.]. Ces transformations sont intro 
duites explicitement pour n > 1 par C. Juel [Bidrag til den imaginäre linies og 
plans geometrie, Diss. Copenhague 1885; Acta math. 14 (1890/1), p. 1], et, indé 
pendamment de C. Juel, par C. Segre [Atti Accad. Torino 25 (1889/90), p. 276, 
430, 592; 26 (1890/1), p. 35 ; Math. Ann. 40 (1892), p. 413].