346 G- Fano. III 5. La théorie des groupes continus et la géométrie. E. Cartan. 
ou plusieurs équations analytiques entre les coordonnées d’un point. 
Mais l'introduction de ce que C. Segre 18 ) appelle les figures hyper- 
algébriques, définies par des équations algébriques par rapport aux 
coordonnées d’un point et aux variables complexes conjuguées de ces 
coordonnées, a nécessité l’introduction des transformations antiprojec 
tives. Parmi les figures de cette géométrie projective complexe éten 
due, signalons en particulier les chaînes 19 ) qui sont des lieux de points 
susceptibles d’être transformés, par une transformation projective con 
venable, dans l’ensemble des points réels d’une droite. Signalons aussi 
les hyperconiques et hyperquadriques réelles obtenues en annulant une 
forme d’Hermite 20 ) et dont il sera question plus loin. La géométrie 
projective et la géométrie antiprojective de la droite complexe sont 
équivalentes à la géométrie des rayons vecteurs réciproques du plan 
[n° 12], les chaînes de la droite complexe correspondant aux cercles 
du plan réel.* 
On peut aussi considérer une géométrie projective hicomplexe, etc. 
6. Sous-groupes continus du groupe projectif général. Certains 
des sous-groupes du groupe projectif général de E n présentent un 
intérêt capital. Bien des géométries admettent en effet, par un choix 
convenable de l’élément générateur et de ses coordonnées, pour groupe 
fondamental un sous-groupe du groupe projectif général (du moins 
dans le cas où ce groupe fondamental est fini). Les résultats connus 
relativement à ces sous-groupes se rapportent en majorité au cas où 
les transformations et les paramètres sont complexes 21 ). 
a) Le groupe projectif général de la droite (n = 1) est à trois 
paramètres. Chacun de ses sous-groupes à deux paramètres est formé 
par l’ensemble des transformations projectives qui laissent invariant 
un point fixe; chacun de ses sous-groupes à un paramètres est formé 
par l’ensemble des transformations projectives qui laissent invariants 
deux points fixes (distincts ou confondus) 22 ). 
19) *Les chaînes linéaires sont déjà considérés par K. G. Chr. von Staudt 
[Beitràge 17 ), p. 137/8]. Voir aussi C. Segre [Atti Accad. Torino 25 (1889/90), 
p. 430]; J. W. Young [Annals of math. (2) 11 (1909/10), p. 33; Trans. Amer. math. 
Soc. 11 (1910), p. 280]; dans ce dernier article J. W. Young considère dans le 
plan complexe les chaînes planaires qui se déduisent, par une transformation 
projective, de la figure formée par tous les points réels du plan. Les chaînes à trois 
dimensions sont étudiées par H. H. Mac Gregor [Annals of math. (2) 14 (1912/3), p 1].* 
20) C. Segre, Atti Accad. Torino 25 (1889/90), p. 592. 
21) En ce qui concerne les groupes réels, voir S. Lie, Transformations- 
gruppen 7 ) 3, p. 369/85. On pourra consulter aussi, pour n = 1 et n = 2, et 
pour certains groupes particuliers à trois variables, les travaux de H. B. 
Newson ,5 ).