350 G. Fano. III 5. La théorie des groupes continus et la géométrie. F. Cartan. 
8°) le groupe à quatre paramètres qui laisse invariante une qua- 
drique réglée ainsi que, sur cette quadrique, deux génératrices ima 
ginaires conjuguées de la même famille; 
9°) le groupe à quatre paramètres qui laisse invariante une qua- 
drique sans points réels, ainsi que, sur cette quadrique, deux géné 
ratrices imaginaires conjuguées de la même famille; 
10°) le groupe à trois paramètres, sous-groupe invariant du pré 
cédent, qui laisse invariantes toutes les génératrices d’une famille de 
cette quadrique (groupe de translations de l’espace elliptique); 
11°) le groupe à trois paramètres d’une cubique gauche réelle* 
7. Groupe affine. Géométrie affine. Considérons le groupe pro 
jectif de l’espace E n qui laisse invariante une variété plane E n _ v Si 
l’on suppose cette variété plane à l’infini, on obtient ce qu’on appelle le 
groupe affine 86 ) formé de toutes les transformations projectives qui 
conservent à distance finie les points à distance finie et maintiennent 
à l’infini les points à l’infini. Ces transformations sont d’habitude 
limitées au domaine réel. Analytiquement elles sont représentées par 
des substitutions linéaires entières non homogènes effectuées sur les 
coordonnées ponctuelles cartésiennes. La géométrie affine fait inter 
venir les relations entre les éléments qui peuvent se ramener à l’in 
cidence (au sens élémentaire), au parallélisme, et à l’ordre des points 
d’une droite; elle ne considère aucune autre propriété métrique. On 
obtient le groupe de la géométrie élémentaire en se limitant aux 
transformations affines qui conservent l’orthogonalité; les angles de 
viennent alors des invariants. 
L’importance de la géométrie affine comme intermédiaire entre 
la géométrie élémentaire et la géométrie projective avait déjà été re 
marquée par A. F. Mobius 36 37 ). F. Klein l’a utilisée dans ses Cours 
sur la théorie des nombres 38 ). Le groupe fondamental de la géomé 
trie élémentaire devient le groupe affine lorsqu’on lui adjoint les homo 
logies dont le centre est à l’infini, puis le groupe projectif par l’ad 
jonction de toutes les homologies. Des trois notions fondamentales 
de la géométrie élémentaire: incidence, parallélisme, orthogonalité, les 
deux premières seules subsistent dans la géométrie affine, la première 
36) Ce groupe est appelé par S. Lie groupe linéaire général [Tranaforma- 
tionsgruppen 7 ) 1, p. 556/7J. 
37) Der barycentrische Calcul, Leipzig 1827, p. 191 et suiv. et p. 366/8, 
Werke 1, Leipzig 1885, p. 177 et suiv. et p. 316/8. 
38) Zahlenth. B ) 1, p. 51 et suiv. Voir aussi L. Heffter, Jahresb. deutsch. 
Math.-Yer. 12 (1903)', p. 400; L. Eeffter et C. Kôhler, Lehrbuch der analytischen 
G-eometrie 1, Leipzig et Berlin 1904, en partie, p. 12/21, 59/66, 194 et suiv., 346/8.