7. Groupe affine. Géométrie affine. 
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seule dans la géométrie projective. La géométrie projective (réelle) 
ne connaît que deux classes de coniques non dégénérées: les coni 
ques imaginaires (à équation réelle) et les coniques réelles; la géo 
métrie affine décompose cette deuxième classe en ellipses, hyperboles 
et paraboles et introduit les notions de centre, de diamètres, d’asymp 
totes; la géométrie élémentaire enfin introduit les notions nouvelles 
d’axes, de sommets et de foyers. Les ellipses, que rien ne distinguait 
les unes des autres en géométrie affine, dépendent essentiellement en géo 
métrie élémentaire d’un paramètre arbitraire (l’excentricité par exemple): 
le cercle et l’hyperbole équilatère jouent maintenant un rôle tout à 
fait à part. 
En géométrie projective le rapport anbarmonique est l’invariant 
absolu caractéristique; en géométrie affine c’est le rapport des seg 
ments déterminés par trois points en ligne droite; en géométrie élé 
mentaire c'est ce même rapport, auquel il faut joindre l’angle de 
deux droites, qui constituent un système caractéristique d’invariants 
absolus. Dans chacune des trois géométries ces invariants fournissent 
un système de coordonnées naturelles: en géométrie projective les co 
ordonnées projectives (qui sont des rapports anharmoniques); en géo 
métrie affine les coordonnées cartésiennes les plus générales 39 40 ), en 
géométrie élémentaire les coordonnées cartésiennes rectangulaires. 
La géométrie affine admet aussi un invariant intégral important; 
dans le cas n = 2, c’est l’aire limitée par une courbe fermée; dans 
le cas n — 3, c’est le volume limité par une surface fermée. Cet in 
variant est relatif. Il caractérise le groupe affine parmi tous les sous- 
groupes du groupe projectif. Cet invariant est absolu pour un sous- 
groupe invariant à n(n + 1) — 1 paramètres du groupe affine, c’est 
le groupe qu’on appelle affine spécial ou équiaffme iQ ). 
Il existe d’autres sous-groupes importants du groupe affine; ce 
sont les groupes à w 2 et w 2 — 1 paramètres formés des transformations 
affines ou équiaffines qui laissent invariant un point à distance finie. 
Le premier de ces groupes est représenté analytiquement par l’en 
semble des transformations linéaires et homogènes à n variables, le 
second par celles de ces transformations dont le déterminant est égal 
à 1. S. Lie donne à ces deux groupes les noms de groupe linéaire 
et homogène général et groupe linéaire et homogène spécial 41 ). Ces 
deux groupes sont en relation très simple avec le groupe projectif 
39) Les coordonnées barycentriques p : q : r de A. F. Möbius sont aussi des 
rapports de distances et par suite tout à fait appropriées à la géométrie affine. 
40) L. Heffter et C. Köhler, Analyt. Geom. 88 ) 1, p. 220. 
41 Transformationsgruppen 7 ) 1, p. 657/8.