35 Vino. 1115. La théorie des groupes continus et la géométrie. E. Carian. 
de JS n _ 1 , puisqu’ils échangent projectivement, et cela de la manière 
la plus générale possible, les oo” -1 droites qui sont issues du point 
fixe laissé invariant par le groupe. Ils peuvent en un certain sens 
être regardés comme les projections du groupe projectif général de 
E n _ t , projections faites d’un point fixe extérieur à E n _ 1 . 
Le groupe linéaire et homogène général de E n _ x est, d’après 
cela, isomorphe mériédrique au groupe projectif général de E n _ x . Le 
groupe linéaire et homogène spécial de E n lui est au contraire iso 
morphe holoédrique, la relation d’isomorphisme étant d’ordre (n, 1): à 
chaque transformation du groupe de E n correspond une transfor 
mation et une seule du groupe de E n _ lf mais à chaque transforma 
tion du groupe de E n _ 1 correspondent n transformations du groupe 
de E n . 
8. Groupes projectifs qui laissent invariantes des courbes ou 
des surfaces. Il existe une série de groupes projectifs continus et 
mixtes qui sont caractérisés par l’invariance d’une certaine figure 
(courbe, surface, etc.) et qui, par rapport à cette figure, peuvent être 
désignés sous le nom de groupes automorphes. Ces figures sont celles 
qui admettent une infinité de transformations projectives (formant né 
cessairement un groupe 42 ). 
a) F. Klein et S. Lie se sont proposé dès 1870 la recherche de 
ce qu’ils appelaient les courbes W, c’est-à-dire les courbes qui ad 
mettent une famille continue de transformations projectives. Ils ont 
déterminé toutes les courbes W du plan et de l’espace 48 ). Ces courbes 
sont les trajectoires des groupes projectifs à un paramètre 44 ). Dans l’es 
pace E n les coordonnées homogènes x u x 2 , . . ., x n + 1 d’un point d’une 
courbe W sont des fonctions d’un paramètre variable t qui satisfont 
à un système d’équations différentielles linéaires du premier ordre à 
coefficients constants sans second membre. Dans le cas général les 
équations en coordonnées non homogènes d’une courbe W peuvent 
se mettre sous la forme x 1 = = • • ■ = xf*. Si une courbe 
W est algébrique, elle est en même temps unicursale (de genre 
zéro). Si une courbe irréductible de l’espace E n , qui n’est contenue 
dans aucune variété plane E n _ ly admet un groupe projectif à deux pa- 
42) F. Klein [Progr. Erlangen 6 )] a posé le problème pour un groupe quel 
conque. Voir aussi F. Klein et S. Lie, Math. Ann. 4 (1871), p. 79/84. 
43) G. R. Acad. sc. Paris 70 (1870), p. 1222, 1276; Math. Ann. 4 (1871), p. 50. 
44) *E. B. van Vleck [Trans. Amer. math. Soc. 13 (1912), p. 353] a étudié 
les groupes projectifs à un paramètre en partant d’une substitution linéaire et 
cherchant à quel groupe continu à un paramètre elle appartient. Il a déduit 
de ses recherches une classification des courbes réelles de l’espace E s qu’il par 
tage en 16 types.*