11. Congruence et mouvement. 
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congruence, en particulier de la congruence des angles, uniquement 
de celui de la congruence des segments. 
L’importance du dernier postulat sur la continuité du plan (con 
tinuité qui, dans la méthode ordinaire, résulte de celle de la droite,, 
mais qui ici figure comme un complément de celle de la droite) 
apparaît nettement quand on cherche avec J. Mollerup n3 ) à développer 
les constructions dans le plan sans faire intervenir le concept de la 
congruence des angles. 
Dans la méthode de J. Mollerup il est nécessaire d’établir un 
postulat d’après lequel „on puisse construire sur une droite donnée 
comme base, et d’un des côtés de cette droite, un seul triangle ayant 
ses côtés respectivement égaux à ceux d’un triangle donné.“ Or dans 
le système de G. Veronese, ce théorème peut être prouvé en se basant 
sur le postulat, déjà mentionné, de la continuité du plan 113 114 ). 
c. Système de postulats de Hilbert 115 ). En distinguant l’un de 
l’autre les postulats de l’appartenance et de la disposition [n os 9 et 10, 
a et |3] et en prenant par suite comme donnée la propriété fonda 
mentale [n° 9, a] du plan, D. Hilbert a établi un nouveau système de 
postulats fort simples dans lequel le concept de la congruence des 
segments et celui de la congruence des angles apparaissent tous les deux 
comme primitifs. 
Si l’on considère les segments et les angles comme définis in 
dépendamment de leur sens (n° 10), on peut formuler les postulats 
de Hilbert de la façon suivante: 
y. Sous le nom de congruence, on suppose donnée une relation 
symétrique entre les segments et les angles telle que les sept condi 
tions que voici soient satisfaites: 
1) Tout segment et tout angle est à lui-même congruent. 
2) Deux segments, ou deux angles, qui sont congruents à un 
même troisième, sont congruents entre eux 116 ). 
3) Sur une droite on peut déterminer, d’un côté d’un point A' 
donné sur cette droite, un segment A'H qui soit congruent à un 
segment donné AB] on écrit 
A'H~AB. 
113) Math. Ann. 58 (1904), p. 479. 
114) Voir aussi A. Guarducci, dans F. Enriques, Question! 29 ), p. 65. 
115) Grundlagen 27 ), (2° éd.) p. 7. 
116) Ces deux premières conditions [auxquelles correspondent des propriétés 
que les logiciens qui s’occupent de mathématiques appellent propriétés réflectives 
et transitives] comme aussi la condition: si a — b on a aussi b — a [à laquelle 
correspond la propriété symétrique] constituent, en général, les attributs formels 
de tout rapport pouvant être envisagé comme une égalité.