12. Sur la réduction des concepts fondamentaux. 
33 
Dans cet ordre d’idées, G. Peano 118 ) a pris comme point de départ 
les postulats de caractère projectif de M. Pasch se rapportant aux 
concepts „point" „segment" ou „situé entre" et „surface plane". En 
les traduisant en symboles empruntés à la logique mathématique déjà 
systématisée à cette époque, il commença par ramener le concept 
de la surface plane à celui du segment (cf. n° 11). Il montra ensuite 119 ) 
que l’on peut remplacer le concept de la congruence par les postulats 
de caractère projectif que nous venons d’énumérer en y joignant le 
postulat du „mouvement". Il se préoccupa aussi de prouver l’indé 
pendance de ses postulats en en donnant diverses interprétations 
(cf. n° 4). 
M. Pieri 120 ) a défini le „segment" à l’aide des concepts „point" 
et „mouvement" et, à cet effet, a développé un système convenable 
de postulats. 
M. Pieri 121 ) et A. Padoa 122 ) ont proposé de remplacer le concept 
du mouvement par le concept „paire de points équidistants" qui peut 
être ramené au cas de „paire ayant un point commun" et cela en 
suivant une idée qui apparaît déjà dans les premiers théorèmes 
d'Euclide et qui a été développée par G. Veronese 123 124 ). 
G. Peano 121 ) a montré que ces définitions ne sont pas sans re 
lations avec celles de la droite et du plan données par G. W. Leibniz 
(n° 8); il a mis aussi en évidence le lien qui les unit à ses postulats 
concernant la théorie des vecteurs. 
Il convient de remarquer que jusqu’ici M. Pieri seul a formulé 
d’une façon complète les postulats dont il fait usage. Il faut toutefois 
ajouter que ces postulats se présentent sous une forme extrêmement 
compliquée et perdent tout caractère d’évidence relativement à l’in 
tuition que nous en avons. Cela vient surtout de ce que les concepts 
primitifs de la disposition (c’est-à-dire les attributs de la droite en tant 
que ligne) ont été supprimés par M. Pieri. D’ailleurs M. Pieri n’attache 
aucune importance à Vévidence plus ou moins grande de ses prémisses 125 ). 
De son côté, B. Levi 126 ) a développé un système de postulats en 
118) Principii îB ), p. 9 et suiv. 
119) „Rivista mat. 4 (1894), p. 75.* 
120) Memorie Accad. Torino (2) 49 (1899), p. 173. 
121) Memorie Accad. Torino (2) 49 (1899), p. 173 et suiv. 
122) Voir en particulier: C. R. du deuxième congrès intern. math. Paris 1900, 
publ. par JE. Duporcq, Paris 1902, p. 363. 
123) *G. Veronese, Fondamenti 26 ), en partie, p. 274.* 
124) Atti Accad. Torino 38 (1902/3), p. 6. 
125) Memorie Accad, Torino (2) 49 (1899), p. 178 et suiv. 
126) Memorie Accad. Torino (2) 54 (1904), p. 281/353. 
Bnoyclop. des scienc. mathémat. III 1. 
3