13, Continuité et postulat d’Archimède. 
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d’exhaustion™ 0 ). Dans ces deux cas toutefois, il s’introduit uniquement 
ce qui, dans la notion de continuité, correspond au postulat d’Archi 
mède™ 1 ): „si deux segments sont donnés, il y a toujours un multiple 
du plus petit qui surpasse le plus grand“. 
Ce postulat est implicitement contenu dans la quatrième défi 
nition du cinquième livre des „Eléments“ à’Euclide 130 131 132 ): 
Aôyov £%elv itçbg aXXrjXa [isyéd'r] Xéysrai, a dvvarcu noXXaitXa- 
ôLttÇoneva ccXhrjXœv v%£Q£%elv „il existe un rapport mutuel entre 
des grandeurs qui peuvent en se multipliant se surpasser mutuelle 
ment“. 
A notre point de vue moderne, l’importance du postulat d’Archi 
mède résulte surtout de ce qu’on peut en conclure immédiatement la 
possibilité de représenter chaque segment par un nombre soit ra 
tionnel, soit irrationnel. En effet, étant données deux grandeurs quel 
conques y satisfaisant, ce postulat permet de déterminer deux multiples 
successifs de la première de ces deux grandeurs, encadrant la seconde, 
en sorte que l’on peut établir des calculs sur ces grandeurs et définir 
le rapport (Xoyog) de deux d’entre elles conformément à la théorie 
des proportions à’Euclide. Si l’on convient de prendre une des deux 
grandeurs envisagées comme unité de mesure, ce rapport est un nombre, 
le nombre qui mesure l’autre grandeur 133 ). 
Il résulte aussi du postulat d’Archimède qu’il n’existe pas d’in 
finiment petit actuel par rapport aux longueurs que l’on considère. 
Mais de ce postulat à lui seul on ne saurait conclure que réci 
proquement à tout nombre irrationnel correspond un segment mesuré 
par ce nombre 134 ). 
130) Euclide, Elementa, livre 10, prop. 1 ; Opéra, éd. J. L. Heiberg 3, Leipzig 
1886, p. 4. 
131) C’est O.Stolz [Ber. naturw.-mediz. Ver. Innsbruck 12 (1881/2), p. 76; 
réimpr. Math. Ann. 22 (1883), p. 504] qui a désigné cette proposition sous le nom 
de postulat d’Archimède. Il ne faudrait pas croire toutefois que ce postulat 
soit effectivement dû à Archimède. Comme le dit d’ailleurs O. Stolz lui-même, 
[Ber. naturw.-mediz. Yer. Innsbruck 12 (1881/82), p. 86; Math. Ann. 22 (1883), 
p. 612] bien avant Archimède, plusieurs géomètres avaient déjà fait usage de 
cette proposition fondamentale. Elle se trouve dans Aristote [voir J. L. Heiberg, 
Abh. Gesch. Math. 18 (1904), p. 23] et il est même vraisemblable [cf. H. G. 
Zeuthen, Yerhandl. des 3. internat. Math.-Kongresses Heidelberg 1904, publ. par 
A. Krazer, Leipzig 1905, p. 541; Bibl. math. (3) 7 (1906/7), p. 344] qu'Eudoxe 
s’en est déjà servi. 
132) Elementa, livre 5, déf. 4; Opéra, éd. J. L. Heiberg 2, Leipzig 1884, p. 2. 
133) Cf. O. Hôlder, Ber. Ges. Leipzig 53 (1901), math. p. 1. 
134) *F.Schur [Grundlagen 81 ), p. 183] se place à un point de vue différent. 
Il admet que l’existence géométrique d’un segment résulte de ce que d’une part 
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