18. Continuité et postulat d’Archimède. 
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grand que tous les segments de la première suite et plus petit que 
tous les segments de la seconde suite 139 ). 
En adjoignant ce postulat au postulat d’Archimède, on peut 
renverser la correspondance entre segments et nombres qui résulte 
de la mesure des segments et l’on parvient ainsi au théorème fon 
damental d’après lequel tout nombre réel (irrationnel aussi bien que 
rationnel) correspond à un segment dont il est la mesure. 
On peut donc dire que Y ensemble des deux postulats d’Archimède 
et de Cantor fournit la représentation cartésienne des points de la droite. 
Le rôle joué ici par le postulat de Cantor, peut aussi bien l’être 
par un autre postulat auquel on a donné le nom de postulat d’inté 
gralité (Yollstândigkeit) et qu’on énonce ainsi 140 ): 
L’espace est une variété d’éléments (points) qui ne saurait être 
agrandie par fiadj onction d’autres éléments de telle façon que le 
système des postulats formant la base de la géométrie soit encore 
satisfait dans la variété agrandie. 
En traduisant géométriquement les expressions du postulat de la 
continuité formulées par K. Weierstrass et par II Dedêkind on parvient 
à deux nouveaux énoncés de ce postulat qui se présentent sous une 
forme descriptive. 
Postulat de continuité de Weierstrass. Si un segment 031 contient 
une suite illimitée de points successifs A 1} A 2 , A 3 , , il existe un 
point (limite) B tel que, dans le voisinage 141 ) de B, quelque petit que 
soit fixé ce voisinage, se trouve un au moins des points de la suite 
A 1} A 2 , A 3 , 
Postulat de continuité de Dedêkind. Si un segment 031 est di 
visé en deux classes de points de telle sorte que si O appartient 
à la première classe et 31 à la seconde, chaque point de O 31 appar 
tienne à une des deux classes et qu’un point quelconque de la pre 
mière classe se trouve à l’intérieur du segment formé par O avec 
chacun des points de la seconde classe, alors il existe un point X 
tel que tous les points situés à l’intérieur du segment OX appar 
tiennent à la première classe tandis que tous les points situés à l’in 
139) C’est à propos de ce postulat de la continuité de G. Cantor que 
F. Klein [Bull. Soc. phys. math. Kazan (2) 8 (1898), p. 18; Math. Ann. 50 (1898), 
p. 594] remarque qu’au point de vue physique on doit déjà faire intervenir comme 
postulat l’existence de ceux des points du segment OM ayant une abscisse ra 
tionnelle dont le dénominateur est suffisamment grand. 
140) C’est ce que fait D. Hilbert, Grundlagen 27 ), (3 e éd.) p. 22. Cf. note 134. 
141) *Au lieu de voisinage d’un point, on dit aussi souvent environs de ce 
point. Il vaudrait peut-être mieux dire entourage du point, mais cette locution 
est peu usitée.*